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初二几何:将军饮马进阶!周长最小模型,中考必考!看懂这篇不再丢分
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初二几何:将军饮马进阶!周长最小模型,中考必考!看懂这篇不再丢分 大家好，我是二娃妈妈，温柔自律，陪普通孩子啃下初二数学重难点。 上次我们讲完将军饮马基础模型——两定一动，求两条线段和最小。很多家长私信我：孩子基础题听懂了，一碰到周长最小值直接卡壳！大题画图不会画，证明写不全，一考试就丢分！ 今天我们一口气讲将军饮马两大周长模型，都是中考、月考高频考点： ✅ 模型1：一定两动，求三角形周长最小 ✅ 模型2：两定两动，求四边形周长最小 底层逻辑不变：化折为直，轴对称翻折，两点之间线段最短。吃透这两个变形，所有周长最短题型直接拿下！ 前置回顾：将军饮马核心口诀 同侧对折，异侧直连；几个动点，就做几次对称 一、模型①：一定两动:△PMN周长最小（一个定点，两条直线上两个动点） 题目:已知定点P，在直线l₁、l₂上分别找动点M、N，使得△PMN的周长最小。 周长公式：C△PMN=PM+MN+PN ✅作图步骤（考试标准书写） 1. 作定点P关于直线l₁的对称点P'； 2. 作定点P关于直线l₂的对称点P''； 3. 连接P'P''，线段P'P''与直线l₁交于点M，与直线l₂交于点N； 4. 连接PM、PN，此时△ PMN周长最小。 ✅完整证明（大题满分模板） 由轴对称性质： PM=P'M，PN=P''N 三角形周长： C△ PMN=PM+MN+PN =P'M+MN+P''N 根据两点之间，线段最短，P'到P''最短路径就是线段P'P''。当P'、M、N、P''四点共线时，P'M+MN+P''N=P'P''，周长取得最小值，最小值等于线段P'P''的长度。 如果在两条直线上随便另取M'、N'两点：周长=P'M'+M'N'+P''N'，这是一条折线。根据折线大于线段：P'M'+M'N'+P''N'>P'P''。 ∴M、N就是满足周长最小的点。 宝妈陪读小提示： 只有1个定点，2条直线，2个动点，就对同一个定点做两次对称！ 二、模型②：两定两动:四边形◇PQMN周长最小（两个定点，两条直线上两个动点） 题目:已知两个定点P、Q，在直线l₁、l2上分别找动点M、N，使四边形◇PQMN周长最小。 周长公式： C◇PQMN=PQ+QM+MN+NP 注意：PQ是固定线段，长度不变！所以只需要最小化QM+MN+NP。 ✅作图步骤（考试标准书写） 1. 作点Q关于直线l₁的对称点Q'； 2. 作点P关于直线l₂的对称点P'； 3. 连接Q'P'，线段Q'P'交l₁于M，交l₂于N； 4. 依次连接Q、M、N、P，四边形PQMN周长最小。 ✅完整证明（大题满分模板） 由轴对称性质： QM=Q'M，PN=P'N 四边形周长： C◇PQMN=PQ+QM+MN+NP =PQ+Q'M+MN+P'N PQ长度固定，想要周长最小，只需要让Q'M+MN+P'N最小。 根据两点之间线段最短，Q'到P'最短路径就是线段Q'P'。 当Q'、M、N、P'四点共线时，Q'M+MN+P'N=Q'P'。 此时四边形周长最小值 = PQ+Q'P'。 如果随便取另外两点M'、N'： QM'+M'N'+NP'=Q'M'+M'N'+P'N>Q'P' 周长会更大。 ∴M、N就是所求的动点。 划重点 两个定点，两个动点：分别对两个定点各做一次对称！ 对比记忆： 一定两动：同一个点，做两次对称 两定两动：两个不同定点，各做一次对称 三、一张表分清2个周长模型（孩子直接背） 四、深度拓展真题（月考选择压轴，巩固练习） 在△ABC中，∠ BAC=120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N，以下说法： ①∠P = 60°； ②∠EAF = ∠ B + ∠ C； ③PE = PF； ④点P到点B和点C的距离相等。 其中正确的是（） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ ✅答案：B ✅解析 ①在四边形AMPN中，∠PMA=∠PNA=90°，∠MAN=120° 四边形内角和360°，∠P=360°-90°-90°-120°=60°，①正确。 ②垂直平分线上的点到线段两端距离相等：EA=EC，FA=FB ∴∠C=∠CAE，∠B=∠ BAF △ ABC内角和： ∠B+∠C=180°-120°=60° ∠EAF=∠BAC-(∠CAE+∠BAF) =120°-(∠ C+∠ B)=60° ∴∠ EAF=∠B+∠ C，②正确。 ③PE和PF不一定相等，没有条件证明，③错误。 ④连接PA、PB、PC PM是AC中垂线⇨ PA=PC；PN是AB中垂线⇨PA=PB ∴ PC=PB，点P到B、C距离相等，④正确。 ✅正确选项：①②④，选B 口诀复习：见中垂，连两端，有相等 垂直平分线题型，第一反应：连接端点，得到两条线段相等！ 五、陪学心得 很多孩子学将军饮马，只会死记基础两定一动。一遇到周长最小就懵，本质是没有理解：轴对称的目的，就是把折线段拉直！不管是两条线段求和，还是三角形、四边形周长最小，底层逻辑永远不变：翻折转化线段，化折为直，两点之间线段最短。 做题第一步先判断：几个定点？几个动点？ 1定点+2动点 → 同一个点做两次对称 2定点+2动点 → 两个定点分别对称 初二几何，模型不在于刷得多，而在于分清模型、吃透原理，会画图、会写证明。普通孩子，慢慢来，稳稳走，几何一定能打通！ 后面我们继续更新造桥选址、将军饮马综合大题。 关注我，温柔自律陪娃稳步冲刺，吃透初二重难点，轻松逆袭高分！ #初二数学#初中几何#将军饮马周长最小模型#中考数学#初二重难点#宝妈陪读#初中数学逆袭#垂直平分线 初二几何封神模型:将军饮马！10分钟吃透，中考必考满分技巧 初二几何绝杀:折叠“歪歪头模型”！2个公式+完整证明，从此不再丢分 初倍长中线！全等三角形经典辅助线套路，看懂不丢分！
