【真题】2023年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

40年真题latex留白版获取方式：公众号后台发送关键词”考研真题“即可领取！

今天分享的是2023年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

曲线  的渐近线方程为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

泰勒即可，选 B。

unsetunset第2题unsetunset

若微分方程  的解在  上有界，则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 C。由于解有界，所以必须含有三角部分，从而得到对于的特征方程应该满足的条件。

unsetunset第3题unsetunset

设函数  由

确定，则 ?

(A)  连续， 不存在

(B)  存在， 在  处不连续

(C)  连续， 不存在

(D)  存在， 在  处不连续

选 C。研究  处这一点的性质的时候最简单的方法是直接使用泰勒拟合，这种方法我们多次使用过，本题就不呈现了。

unsetunset第4题unsetunset

已知 ，若级数  与  均收敛，则“ 绝对收敛”是“ 绝对收敛”的 ?

(A) 充分必要条件

(B) 充分不必要条件

(C) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

选 A。对于一般的级数，绝对收敛可以推出收敛；而对于正项级数，绝对收敛  收敛。利用绝对收敛的数列的线性组合仍然绝对收敛即可解决本题。

unsetunset第5题unsetunset

已知  阶矩阵  满足 ， 为  阶单位矩阵，记矩阵

的秩分别为 ，则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

考察分块初等变换以及常用的矩阵秩性质。

对常用秩的性质不熟练的同学可以参考下面这篇文章：有关矩阵秩的不等式，还不学会你就落后啦！

unsetunset第6题unsetunset

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 D，过程如图，很详细：

unsetunset第7题unsetunset

已知向量

若  既可由  线性表示，也可由  线性表示，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 D。根据题意列出线性方程组求解即可。

unsetunset第8题unsetunset

设随机变量  服从参数为  的泊松分布，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 C。根据离散型随机变量的期望定义进行计算即可，注意巧妙变换下标利用  减少计算量。

事实上，这类绝对值期望是有结论的（这里假设  是整数，否则需要下取整）：

连续型有类似的结论：

下面我们来看看方差：

所以有：

这些结论都很容易推导，没必要刻意记忆。

unsetunset第9题unsetunset

设  为来自总体  的简单随机样本， 为来自总体  的简单随机样本，且两样本相互独立，记

则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

结论题，选 D。

unsetunset第10题unsetunset

设  为来自总体  的简单随机样本，其中  是未知参数。若  为  的无偏估计，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 A。直接套定义即可。

unsetunset第11题unsetunset

当  时，函数  与  是等价无穷小，则  ?

泰勒。

unsetunset第12题unsetunset

曲面  在点  处的切平面方程为 ?

套公式即可。

unsetunset第13题unsetunset

设  为周期为  的周期函数，且 ，若

则  ?

热门考点傅里叶级数，纯套公式。

unsetunset第14题unsetunset

设连续函数  满足 ，，则  ?

两种方法，第一种方法直接拆分积分区间并换元。

第二种方法，构造变限积分。

unsetunset第15题unsetunset

已知向量

，若 ，则  ?

注意到  两两正交，因此  都可以求出来。

unsetunset第16题unsetunset

设随机变量  与  相互独立，且 ，，则  ?

基础题。

unsetunset第17题unsetunset

设曲线  经过点 ，该曲线上任一点  到  轴的距离等于该点处的切线在  轴上的截距。

(1) 求 ；

(2) 求函数  在  上的最大值。

第一问，根据题意列出微分方程求解即可。

第二问，一元函数极值问题。

unsetunset第18题unsetunset

求函数  的极值。

基础题，注意计算细节。

unsetunset第19题unsetunset

设空间有界区域  由柱面  与平面  和  围成， 为  边界的外侧，计算曲面积分

直接运用高斯公式即可，在二重积分计算过程中，可以直接使用极坐标进行计算：

也可以利用轮换对称性降低计算量，过程如下：

unsetunset第20题unsetunset

设函数  在  上具有二阶连续导数，证明：

(1) 若 ，则存在 ，使得 ；

(2) 若  在  内取得极值，则存在 ，使得 。

两问都是泰勒公式的基础运用。

第一问，已知 ，且待证式涉及到  和 ，故将其在  处展开即可。

第二问，根据  引理得到极值点处有 ，故将  和  在  处展开即可。

unsetunset第21题unsetunset

已知二次型 ，。

(1) 求可逆变换 ，将  化为 ；

(2) 是否存在正交变换 ，将  化为 。

第一问，配方即可，纯送分。

第二问，正交变化前后不改变矩阵的迹，而 ，因此不存在。

unsetunset第22题unsetunset

设二维随机变量  的概率密度为

(1) 求  与  的协方差；

(2) 判断  与  是否相互独立；

(3) 求  的概率密度。

第一问，根据二维随机变量的期望定义计算即可。

第二问，注意到二维联合概率密度函数无法将  和  独立拆开（从定义域也可以看出这一点），因此显然不独立，过程书写直接验证  不成立即可。

第三问，使用分布函数法即可。

好了，以上就是今天小课糖的全部内容啦~如果内容对你有帮助，欢迎关注、点赞、收藏、转发呀，让更多人学到这个小妙招！

每日精选好题，拆解精巧解法，陪你稳步刷题、助力备考上岸！！！