中考复习第06讲 | 分式方程：去分母化整式+验根防增根+应用题全攻略（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第 06 讲

📌 本讲导读
分式方程是中考年年必考的"检验关"：解法题 4~6 分，套路固定但坑就在"增根"——解完不验根，白做一半题；含参问题（有增根、无解、解为正数）是选择填空的常客；应用题几乎每年一道，常与不等式结合考"方案+最值"。本讲三条主线：转化是核心、验根是命门、"两验"应用题是压轴。

一、知识清单

1. 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
⚠️ 判断标准看分母：分母里是常数（哪怕像 π、a 这种字母常数）→ 整式方程；分母里有表示未知数的字母 → 分式方程。

2. 解法：转化思想
三步走：① 两边同乘最简公分母，化为整式方程；② 解整式方程；③ 检验——把解代入最简公分母，不为 0 才是原方程的解。
⚠️ 去分母时不含分母的项也要乘；乘多项式分母时要加括号。

3. 增根：分式方程特有的坑
去分母时，两边乘了含未知数的式子，相当于默认它 ≠ 0，于是可能"制造"出让分母为 0 的根——这就是增根。增根是整式方程的根，但不是原方程的根。

🔑 易错警示
① 解分式方程必须检验，这是必要步骤，不是可选项；
② "有增根" ≠ "无解"：有增根的方程可能经舍去后仍有别的解；无解包括"解是增根"和"整式方程本身无解"两类；
③ 含参问题两条防线：解的范围（正数/非负数/整数）+ 分母不为 0 的排除，漏一条就丢分；
④ 应用题要"两验"：验方程的根 + 验是否符合实际意义。

二、题型精讲

题型1去分母漏乘与验根
例：解方程 1/(x−2) + 3 = (x−1)/(x−2)。

💡 思路：两边同乘 (x−2)：1+3(x−2)=x−1 → 3x−5=x−1 → x=2。代回检验：x=2 使分母为 0，是增根——原方程无解。算对了答案却答"无解"还是答"x=2"？中考就考这一步的规范。

题型2含参问题：解为正数求参数
例：关于 x 的分式方程 1/(x−1) − 2 = m/(x−1) 的解为正数，求 m 的范围。

💡 思路：去分母得 1−2(x−1)=m → x=(3−m)/2。解为正数 ⇒ 3−m>0 ⇒ m<3；再加防线：x≠1 ⇒ m≠1。答案：m<3 且 m≠1。"解的范围"和"分母非零"必须同时满足，后者最容易漏。

题型3应用题：工程问题（方程+不等式）
例：甲队每天修路是乙队的 1.5 倍，两队各修 600 m，甲比乙少用 4 天，求两队每天各修多少米。

💡 思路：设乙每天修 x 米，等量关系是"时间差"：600/(1.5x) = 600/x − 4 → 400/x = 600/x − 4 → 200/x=4 → x=50。乙 50 米/天、甲 75 米/天。应用题的等量关系常藏在"时间相同 / 时间差"里。

三、考点分布速查表

四、巩固 12 题

1. 下列方程中，是分式方程的是（　）
   A. (x+1)/2 + (x−1)/3 = 1　B. 2x/π + 1 = 0　C. 1/(x−2) + 3 = 0　D. (3x−1)/4 = x/2
2. 解方程：1/(x−1) = 2/(x+1)。
3. 解方程：2/(x−3) = 3/(x+2)。
4. 解方程：1/(x−2) + 3 = (x−1)/(x−2)。
5. 解方程：(2x−1)/(x+2) = 1 + 1/(x+2)。
6. 若关于 x 的分式方程 1/(x−1) − 2 = m/(x−1) 的解为正数，则 m 的取值范围是______。
7. 若关于 x 的方程 x/(x−2) − 2 = m/(x−2) 有增根，则 m = ______。
8. 若关于 x 的分式方程 k/(x−1) = 2/(x+1) 无解，则 k = ______。
9. 某活动计划每天种植相同数量的树木，实际每天比原计划多植 50 棵，实际植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同。设实际每天植树 x 棵，所列方程为______。
10. 甲队每天修路的长度是乙队的 1.5 倍，两队各自修建 600 m 快线，甲队比乙队少用 4 天。求甲、乙两队每天各修路多少米。
11. 某商家第一次用 22000 元购进一批玩偶，很快售完；第二次又用 48000 元购进同款玩偶，数量是第一次的 2 倍，但单价贵了 10 元。求第一次购进多少个。
12. 接第 10 题：再修 3000 m 快线，甲队每天费用 1 万元、乙队每天 0.6 万元。若总费用不超过 38 万元，至少安排乙队施工多少天？

五、逐题解析

1. C
   。A 的分母 2、3 是常数，B 的分母 π 是常数（π 不是未知数），D 的分母是常数——都是整式方程；只有 C 的分母含未知数 x ✓。
2. x=3
   。交叉相乘（即同乘 (x−1)(x+1)）：x+1=2x−2 → x=3。检验：x=3 时两分母为 2、4，均不为 0 ✓。
3. x=13
   。2(x+2)=3(x−3) → 2x+4=3x−9 → x=13。检验：x=13 时分母为 10、15 ✓。
4. 无解
   。去分母：1+3(x−2)=x−1 → 3x−5=x−1 → x=2。检验：x=2 使分母 x−2=0，是增根，舍去——原方程无解。解分式方程必检验，验出增根答"无解"。
5. x=4
   。去分母：2x−1=(x+2)+1 → 2x−1=x+3 → x=4。注意右边的 1 也要乘 (x+2)！检验：x=4 时分母为 6 ✓。
6. m<3 且 m≠1
   。去分母：1−2(x−1)=m → x=(3−m)/2。解为正数 ⇒ 3−m>0 ⇒ m<3；再排除增根：x≠1 ⇒ (3−m)/2≠1 ⇒ m≠1。两条防线缺一不可。
7. 2
   。去分母：x−2(x−2)=m → x=4−m。有增根 ⇒ 增根只能是 x=2（使分母为 0）⇒ 4−m=2 ⇒ m=2。验证 m=2：方程变为 x/(x−2)−2=2/(x−2)，去分母解得 x=2，确为增根 ✓。
8. k=0 或 k=2
   。去分母：k(x+1)=2(x−1) → (k−2)x=−2−k。① k−2=0（k=2）：0=−4，整式方程无解 → 原方程无解 ✓；② 增根 x=1：k−2=−2−k → k=0，此时解 x=1 是增根 → 无解 ✓。无解=整式方程无解 ∪ 解为增根，两种情况都要讨论。
9. 400/x = 300/(x−50)
   。实际每天 x 棵，原计划每天 (x−50) 棵；等量关系"时间相同"：实际时间 400/x = 原计划时间 300/(x−50)。列方程的关键是分清谁快谁慢、时间怎么比。
10. 乙 50 米/天，甲 75 米/天
    。设乙每天修 x 米：600/(1.5x) = 600/x − 4 → 400/x=600/x−4 → 200/x=4 → x=50。甲=1.5×50=75。检验：600/75=8 天，600/50=12 天，差 4 天 ✓。
11. 200 个
    。设第一次购进 x 个，则第二次 2x 个："单价差 10 元"：48000/(2x) − 22000/x = 10 → 24000/x−22000/x=10 → 2000/x=10 → x=200。检验：第一次单价 110，第二次 48000/400=120，差 10 ✓。
12. 至少 30 天
    。设乙施工 m 天，乙修 50m 米，甲修 (3000−50m) 米，需 (3000−50m)/75 天。费用：0.6m + (3000−50m)/75 ≤ 38 → 0.6m+40−(2/3)m ≤ 38 → −m/15 ≤ −2 → m ≥ 30。检验 m=30：乙修 1500 m 用 30 天，甲修 1500 m 用 20 天，费用 18+20=38 万 ✓，恰好不超。答：至少 30 天。

📇 本讲方法卡
① 解分式方程三步：乘最简公分母化整式 → 解整式方程 → 代回公分母检验；
② 含参问题双防线：解的范围条件 + 分母不为 0 的排除，一条都不能漏；
③ "无解"要分类：整式方程无解（系数为 0）∪ 解是增根（代回求参数）；
④ 有增根求参数三步：化整式 → 定增根（使公分母为 0 的值）→ 代入整式方程解参数；
⑤ 应用题等量关系：行程看"时间相同/差"，工程看"总量与效率"，采购看"单价差"；
⑥ 应用题两验：验是否为方程的根 + 验是否符合实际（正数、整数、不超预算）。

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