南京中考常考的整数解问题,三种方法帮孩子拉开差距

四季读书网 2026-09-29 09:15:04 9 0

各位南京的家长、同学们好，我是博哥。

上一篇咱们讲了构造方程解题，三种思路搞清楚了，看到对称式子就知道怎么构造。今天讲一个南京中考特别爱考的难点——整数解问题。

很多南京的孩子遇到"方程有整数根，求参数"这类题就头疼，不知道从哪里下手。其实这类题有固定的解法，掌握了就不难。

一、什么是整数解问题？

整数解问题，简单说就是：一元二次方程的根是整数，求方程中参数的值或范围。

比如"方程x²-6x+k=0有两个整数根，求k的值"，这就是典型的整数解问题，也是南京中考改编题里最常见的形式。题目不直接给根，而是告诉我们根是整数这个条件，让我们反求参数。

这类题的难点在于：整数这个条件怎么用？怎么把"根是整数"转化为可以计算的式子？

核心思想就一句话：根是整数，意味着判别式必须是完全平方数，或者方程能因式分解为整数系数。

整数解问题，常见的有三种解法。

这是南京中考最常用的一种。一元二次方程有整数根，首先判别式Δ必须大于等于0，而且Δ必须是完全平方数（因为求根公式里有√Δ，根是整数的话√Δ必须是整数）。

具体步骤：先写出Δ的表达式，设Δ=m²（m为非负整数），然后解出参数，再根据m的取值范围求出所有可能的参数值，最后代回验证根是否为整数。

如果方程能因式分解为(ax+b)(cx+d)=0的形式，其中a、b、c、d都是整数，那么根就是-b/a和-d/c。要让根是整数，就需要b是a的倍数，d是c的倍数。

这种方法适合方程比较容易因式分解的情况，比如二次项系数为1，常数项可以分解为两个整数的乘积。南京各区模拟卷里，有不少题用因式分解法比判别式法更快。

把参数用根表示出来，比如k=含x的式子，然后因为x是整数，分析这个式子的整数性，从而求出k的值。

这种方法适合参数比较容易分离的情况，比如方程中参数只出现在常数项或一次项系数。有些南京中考压轴题，用参数分离法能出奇制胜。

来看一道南京中考改编的难题，这道题用参数分离法比判别式法快得多。

例题：已知方程x²+kx+k+2=0有整数根，求整数k的值。

解法（参数分离法）：

第一步，分离参数。把含k的项移到一边：k(x+1) = -x²-2，所以k = (-x²-2)/(x+1)。

第二步，多项式除法化简。把分子x²+2除以x+1，得x²+2 = (x+1)(x-1)+3，所以k = -(x-1) - 3/(x+1) = 1-x - 3/(x+1)。

第三步，分析整数性。因为k是整数，x是整数，所以1-x是整数，那么3/(x+1)也必须是整数。也就是说，x+1必须是3的约数。

第四步，3的整数约数有±1、±3，所以x+1=1、-1、3、-3，对应x=0、-2、2、-4。代入k=1-x-3/(x+1)，得k=-2、6、-2、6。

第五步，验证。k=-2时，方程x²-2x=0，根为x=0和2，都是整数；k=6时，方程x²+6x+8=0，根为x=-2和-4，都是整数。

所以k=-2或6，共2个值。

这道题如果用判别式法，Δ=k²-4(k+2)=k²-4k-8，设Δ=m²，需要解(k-2)²-m²=12，用平方差分解，计算量比参数分离法大很多。参数分离法的关键是把参数用根表示，然后利用整数性分析约数，这是南京中考压轴题里常用的技巧。

整数解问题不难，但有三个坑很多南京孩子容易踩。

求出参数后，必须代回原方程验证根是否真的是整数。有些参数虽然让Δ是完全平方数，但求出来的根可能不是整数。比如Δ=1是完全平方数，但如果分子不是偶数，根就不是整数。南京中考的评分标准里，验证这一步是单独给分的，不验证直接扣1分。

"两个整数根"包括两个相等的整数根，也就是Δ=0的情况。很多孩子只考虑两个不同的根，漏掉了重根。比如上面的例题，k=9时x=3是重根，也是两个整数根，不能漏掉。南京中考选择题里，漏掉重根是最常见的错误选项。

第三个坑：参数范围没考虑。

题目有时候会限定参数的范围，比如"k为正整数""k为非负整数""k<10"等。求出所有可能的参数后，要根据题目条件筛选，不是所有求出的k都符合题意。一定要仔细读题，看清参数的限制条件。南京中考的题干经常在括号里加限制条件，很多孩子没注意到。

下一篇咱们聊一元二次方程的应用题——南京中考都怎么考，行程问题、利润问题、面积问题，一网打尽。

我是博哥，在南京教初高数学。觉得有用的话，点个关注，咱们下篇见。

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