系列：勾股定理数学史 ③ ｜ 素材：《关于“勾股定理”的60种证法》+ 原始文献核验
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一、一个定理，为什么值得证三百七十遍
先说个数字。
三种证法，三张图，同一个动作：算两次
美国数学教师卢米斯（Elisha Loomis）在 1940 年出了一本书，叫《毕达哥拉斯命题》，把当时能找到的勾股定理证法收罗了一遍，一共 370 种。
三百七十种。
同一个结论，a² + b² = c²，人类想出了三百七十种不同的方式去说明它为什么成立。这在数学里是很少见的。
为什么？因为证明这件事，本身不只有一个答案。看同一个图形的角度不同，走的路就不同。而走哪条路，会决定你脑子里那张"图"长什么样。
对初二学生来说，不需要三百七十种。但有三种，值得真正装进脑子里——因为它们分别代表三种不同的看图方式，而中考考的那些变形题，本质上都是从这三张图里长出来的。
我们一种一种看。
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二、第一种：拼出一个大正方形（传说是毕达哥拉斯的）
第一种是最常见的，课本上就有。
证法一：拼图法（取 a=3，b=4）
拿四个一模一样的直角三角形，直角边分别是 a 和 b，斜边是 c。把它们摆成一个边长 (a + b) 的大正方形，斜边全部朝内。这时候中间会空出一个斜着放的正方形，边长正好是 c。
同一个大正方形，面积算两次：
按大正方形算：(a + b)² 按零件算：四个三角形 + 中间小正方形 = 4 × ½ab + c² = 2ab + c²
于是：
(a + b)² = 2ab + c²a² + 2ab + b² = 2ab + c²a² + b² = c²
这个方法在《几何原本》之前的希腊流传很广，不少数学史家推测它就是毕达哥拉斯本人的证法。
但我得把话说严谨：这是一种推测，不是定论。
毕达哥拉斯本人没有留下任何著作，他那个学派的东西又习惯全部记在老师名下。数学史家布雷特施奈德（Bretschneider）和汉克尔（Hankel）根据后人的转述，推测这个拼图法出自毕氏，学界沿用了这个说法，但从没有人拿出过硬证据。
所以准确的表述是：这是一种"被认为可能属于毕达哥拉斯"的证法。
这一点不影响它好不好用。它的核心动作只有一个：把图形的面积用两种方法各算一遍。初中几何里管这叫"算两次"，后面你会发现，这篇讲的三种证法，骨子里全是同一招。
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三、第二种：赵爽弦图（大正方形的边长，换成了 c）
第二种出自中国，就是第 2 篇详细讲过的赵爽弦图。
证法二：赵爽弦图（取 a=3，b=4）
四个直角三角形，这回斜边朝外，围成一个边长 c 的大正方形，中间空出一个边长 (b − a) 的小正方形。
还是算两次：
c² = 2ab + (b − a)²= 2ab + b² − 2ab + a²= a² + b²
看出区别了吗？
第一种方法，大正方形的边长是 (a + b)，中间空出的是斜边 c 的正方形；第二种，大正方形的边长是 c，中间空出的是 (b − a) 的正方形。
一个是"从两条直角边的和出发"，一个是"从斜边出发"。方向正好反过来。
同样的四个三角形，换个摆法，就得到一条新路。这就是为什么这个定理能证出三百七十种。
顺带说一句有趣的：这个"四个三角形 + 中间小正方形"的图，不止中国人画过。阿拉伯数学家塔比特·伊本·库拉（Thabit Ibn Qorra）、印度的婆什迦罗，后来都用过大同小异的图。数学史上这种"各想各的，想到一块去了"的事，非常多。
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四、第三种：一位美国总统，用了半个图
第三种最有故事。
证法三：加菲尔德的梯形（1876）
1876 年 4 月 1 日，美国一份教育刊物《新英格兰教育杂志》上，登了一篇很短的小文章，题目叫《驴桥》（Pons Asinorum）。
作者不是数学家，是俄亥俄州的国会众议员詹姆斯·加菲尔德（James A. Garfield）。
（"驴桥"本来是《几何原本》里另一个命题的绰号——等腰三角形两个底角相等，那是欧几里得给初学者设的第一道坎。这篇文稿里借它来指勾股定理。后来人们管这个证法叫"总统证法"。）
五年后的 1881 年，加菲尔德当选美国第 20 任总统。上任不到半年遇刺，当年 9 月去世。他是美国历史上唯一一位在数学上留下过原创成果的总统。
他的证法有多长？杂志上只占了小半栏。画一条线，算两遍面积，结束。
来看他画的是什么：
取两个全等的直角三角形，直角边 a、b，斜边 c。把它们摆在一起，让两条斜边成为一个等腰直角三角形的两条腰。补上线，得到一个梯形——两条平行边分别是 a 和 b，高是 (a + b)。
梯形面积，算两次：
按梯形公式：½(a + b)(a + b) = ½(a + b)² 按零件：两个直角三角形 + 一个等腰直角三角形（腰是 c）= ½ab + ½ab + ½c² = ab + ½c²
于是：
½(a + b)² = ab + ½c²½a² + ab + ½b² = ab + ½c²a² + b² = c²
干净得让人有点不服气。
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五、把总统的图和前面两张放一起看
现在做一件有意思的事。
总统的那张图，正好是经典拼图的一半
回到第一种证法那张图——边长 (a + b) 的大正方形。它的等式是：
(a + b)² = 2ab + c²
把两边同时除以 2：
½(a + b)² = ab + ½c²
这不就是加菲尔德的等式吗？一模一样。
换句话说，他画的图，是那张经典拼图"减半"的版本：
四个直角三角形 → 两个（2ab 变成 ab） 中间那个边长 c 的正方形 → 半个，也就是一个腰为 c 的等腰直角三角形（c² 变成 ½c²）
面积刚好是原来的一半，等式也就刚好是原来的一半。
（补一句严谨的：把两个加菲尔德梯形拼在一起，面积确实等于那张经典拼图，但拼出来的形状是一个斜的平行四边形，不是正方形。数学上等价，形状上不同，这两件事别混为一谈。）
那么问题来了：他是不是抄的？
抄不了。加菲尔德的数学训练很有限，基本靠自学。而中国这一系的古图，英译本要到 1996 年才出现，他 1881 年就去世了。
数学上的等价，不等于历史上的抄袭。同一个结构，相隔一千七百年，被两个完全不同的人各自想到——这恰恰说明这张图有多自然、多么"该被想到"。
我喜欢这个例子的另一个原因：它告诉我们，看懂一个证明，不只是看懂推导，还要看懂"它是从哪张图上看出去的"。三种证法，三张图，最后一张是第一张的一半。
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六、回到考场：这三种证法，中考怎么考
说了三种，落回笔头。
考场版：换 5、12、13 再算一遍
考法一：补全证明过程。题目给你图，挖掉几步让你填。填的永远是那两步——用两种方法表示同一个图形的面积、然后化简。记牢"算两次"这四个字，这类题就是送分。
考法二：弦图模型题。已知大、小两个正方形的面积，反求三角形边长或周长。第 2 篇算过一道（大正方形 25、小正方形 1 → 三边 3、4、5），这里不再重复。
考法三：换一种拼法让你认。把梯形、或者别的拼法的图摆出来，问你面积关系。这类题看着新，其实还是算两次。
来一道梯形版的，我们自己算一遍：
两个全等的直角三角形（直角边 5 和 12）与一个等腰直角三角形，拼成一个梯形。梯形的高是 5 + 12 = 17。求这个直角三角形的斜边 c。
梯形面积 = ½ × (5 + 12) × 17 = 144.5 两个直角三角形：2 × ½ × 5 × 12 = 60 等腰直角三角形（腰 c）：½c² 60 + ½c² = 144.5 → ½c² = 84.5 → c² = 169 → c = 13
5、12、13，又是一组勾股数。
你看，三种证法算的是同一件事，落到题上就是三张不同的图。图认得出来，题就认得出来。
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七、最后一句
很多人觉得，勾股定理"背下来不就行了"。
背下来当然能做题。但你会错过真正好玩的部分：同一句话，有人从外面看，有人从里面看，有人只看了半张图——三百七十种看法，没有一种是错的。
数学让人上瘾的地方，从来不是答案，是"还能这么看"。
下一篇，我们讲一个让整个希腊数学界慌了神的数字：√2。它是勾股定理生出来的，却差点把"万物皆数"的信仰掀翻。
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文献
文中三种证法的几何结构均据原书所载证法并逐一重绘验算，史实部分经原始文献核验。
[美] Elisha S. Loomis《The Pythagorean Proposition》（《毕达哥拉斯命题》），National Council of Teachers of Mathematics，1940（第 2 版）——收录 370 种证法，加菲尔德证法列为第 231 号。 James A. Garfield, “PONS ASINORUM”, *New England Journal of Education*, Vol. 3, No. 14, 1876 年 4 月 1 日, p. 161。 《关于“勾股定理”的60种证法》（网络整理本）——本文三种证法的几何结构参考其中证法 1.2（拼图法）、证法 1.4（弦图法）、证法 1.3（总统证法）。 赵爽《勾股圆方图注》（约公元 222 年），附于《周髀算经》卷上——弦图证法出处，详见本系列第 ② 篇。 欧几里得《几何原本》第一卷，命题 47。 义务教育教科书《数学》八年级上册，北京师范大学出版社，第一章“勾股定理”。 本系列第 ① 篇《比手机还小的一块泥巴》：普林顿 322 泥板与 YBC 7289。
说明：毕达哥拉斯证法为 Bretschneider、Hankel 的推测，学界无定论，正文已注明；加菲尔德证法与中国古图在数学结构上等价、历史上独立，据《科学美国人》与 Williams College 的相关考证；本文所有算例（含 5-12-13 梯形题）均由笔者逐项演算复核。
