初二基础篇 | 全等三角形：概念、性质与全等变换（12题精练）

初中数学 · 人教版八上 14.1 · 基础篇（第 33 期）

📌 本讲导读
从这一讲起，几何进入新阶段：不再只是"研究一个三角形"，而是"比较两个三角形"。全等就是"完全重合"——形状相同、大小相同，缺一不可。本讲五大考点：概念判断、对应关系、性质求角、性质求边（周长）、性质求面积。12 题精练，核心动作是"先写对全等式，再谈性质"。

一、知识清单

1. 全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。记作 △ABC ≌ △DEF，读作"△ABC 全等于 △DEF"，符号"≌"上半是 S（相似/形状相同）、下半是 =（相等/大小相同）。

🔑 对应关系怎么找？三条路：
① 看记法：全等式中字母位置即对应——△ABC ≌ △DEF 中，A↔D、B↔E、C↔F，第一、二、三个字母分别对应；
② 看公共元素：公共边、公共角是对应边、对应角；
③ 看大小关系：最长边对最长边，最大角对最大角。

2. 全等三角形的性质
① 对应边相等；② 对应角相等；
③ 周长相等、面积相等；
④ 对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。

3. 全等变换
平移、翻折、旋转（统称"刚体运动"）前后的图形全等——位置变了，形状大小不变。这三种变换正是后面判定方法的"图形来源"：平行线间的平移型、共边的翻折型、共顶点的旋转型。

🔑 最容易混的三组概念：
• 全等 = 形状相同 且 大小相同。只满足"形状相同"是相似；
• 面积相等的两个图形不一定全等（如底2高6 与 底3高4 的三角形）；
• 所有的等边三角形形状相同但大小可不同，不一定全等。

二、题型精讲

题型一概念判断：全等需要"双同"
下列说法正确的是（　）
A. 形状相同的两个图形全等　B. 完全重合的两个图形全等　C. 面积相等的两个三角形全等　D. 所有的等边三角形全等

💡 思路：全等必须"形状相同 + 大小相同"同时成立，完全重合正是这一要求的直观描述。A 缺"大小相同"（那是相似）；C 面积相等形状可不同；D 等边三角形大小可以不同。选 B。

题型二对应关系：字母位置定对应
已知 △ABC ≌ △DEF，∠A=70°，∠B=50°，BC=8，求 ∠E 与 EF。

💡 思路：先写对应链 A↔D、B↔E、C↔F。∠C=180°−70°−50°=60°，对应角 ∠F=∠C=60°；EF 对应 BC（第二、三个字母），故 EF=8。顺序感对了，性质张口就来。

题型三性质求边与周长：公共部分相减
△ABC ≌ △DEF，△ABC 的周长为 20，AB=6，DF=7，求 DE。

💡 思路：AC=DF=7，BC=20−6−7=7，DE=AB=6。周长类问题先列全等式再"对号入座"，别硬猜。

三、基础 / 培优对比速查

四、12 题精练

基础过关（第 1~8 题）

1. 下列说法正确的是（　）
   A. 形状相同的两个三角形全等　B. 面积相等的两个三角形全等　C. 全等三角形的周长相等　D. 所有的等腰直角三角形全等
2. 已知 △ABC ≌ △A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，则对应角 ∠C 对应（　）
   A. ∠A′　B. ∠B′　C. ∠C′　D. 不能确定
3. △ABC ≌ △DEF，若 ∠A=100°，∠B=40°，则 ∠F = ______。
4. △ABC ≌ △DEF，AB=5，BC=7，AC=6，则 △DEF 的周长为 ______。
5. 如图（平移型）：△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，若 BE=3，BC=9，则 CE = ______。（点 C、E 在线段 BF 上）
6. △ABC ≌ △A′B′C′，△ABC 的面积为 12，则 △A′B′C′ 的面积为 ______。
7. 判断并说明理由："周长相等的两个三角形全等。"
8. △ABC ≌ △DEF，∠A=∠D=90°，∠B=35°，DF=10，则 ∠E = ______，AC = ______。

能力提升（第 9~12 题）

1. △ABC ≌ △DEF，AB=6，AC=8，△DEF 的周长为 22，则 BC = ______，EF = ______。
2. △ABC ≌ △DEF，∠A=2∠B，∠C=90°，则 ∠E = ______。
3. △ABC 的三边长分别为 3、5、7，△DEF 的三边长分别为 3、x+2、9−x，且两个三角形全等，求 x 的值。
4. 如图（旋转型）：△AOB 绕点 O 旋转得到 △COD，∠AOB=40°，若 ∠BOC=150°，则 ∠AOD = ______。

五、逐题解析

1. C
   。A 缺"大小相同"；B 面积等形状可不同（反例：底2高6 与 底3高4）；D 等腰直角三角形边长可以不同——只有"全等 ⇒ 周长相等"是对的（反之不成立）。
2. C
   。三组对应角按字母位置一一配对，∠C 的对应角就是 ∠C′。
3. 40°
   。∠C=180°−100°−40°=40°，F 与 C 对应，∠F=∠C=40°。
4. 18
   。全等三角形三边对应相等，周长 = 5+7+6=18。
5. 6
   。平移距离 BE=3，即平移后 C 挪到 E 的右侧：CE=BC−BE=9−3=6。平移型图里"共线部分相减"是基本动作。
6. 12
   。全等三角形面积相等。
7. 不正确
   。反例：三边 3、4、5 与三边 6、6、4 的三角形周长都是 12，但三边不对应相等——周长相等推不出全等，全等 ⇒ 周长相等。
8. ∠E=35°；AC=10
   。按字母位置对位：B↔E ⇒ ∠E=∠B=35°；AC 是第1、3个字母组合，对应 DF ⇒ AC=DF=10。全等求值就两步：写全等式 → 按位取对应。
9. BC=8；EF=8
   。对应链：AB↔DE=6、AC↔DF=8；△DEF 周长 22 ⇒ EF=22−6−8=8；BC 对应 EF，BC=8。"知两边+周长"求第三边，先写全等式对号入座，不要猜。
10. 30°
    。∠A+∠B=180°−90°=90°，∠A=2∠B ⇒ 3∠B=90° ⇒ ∠B=30°；B↔E 对应，∠E=30°。比例条件+内角和先解出本三角形，再用对应关系。
11. x=3 或 5
    。全等 ⇒ 三边对应相等，{x+2, 9−x} 必须取 {5, 7}：① x+2=5 且 9−x=7 ⇒ x=3 ✓；② x+2=7 且 9−x=5 ⇒ x=5 ✓。含参全等必分类，算完代回验证。
12. 70°
    。旋转前后对应角不变，旋转角 ∠AOC=∠BOD：∠BOC=∠BOA+∠AOC ⇒ ∠AOC=150°−40°=110°=∠BOD；又 ∠COD=∠AOB=40°，故 ∠AOD=∠AOC−∠COD=110°−40°=70°。验证：∠AOB+∠BOC=190°=∠AOD+∠DOC+∠COA ✓。

六、方法卡：全等三角形第一课的三句话

① 先写全等式，再谈性质。拿到题第一步把"△___ ≌ △___"写规范，字母位置即对应——这一步做对，后面全是"查表"。
② 三种变换记住"变位置、不变形状大小"。平移找平行与共线段相减，翻折找公共边公共角，旋转找共顶点的等角。
③ "相等"不等于"全等"。周长相等、面积相等、一个角相等，都推不出全等；但全等 ⇒ 以上全部成立。别把箭头方向搞反。

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