初三数学【解一元二次方程】知识点

四季读书网 2026-09-28 03:07:29 6 0

初三数学【解一元二次方程】知识点

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21.2 解一元二次方程

21.2.1 配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得初三数学【解一元二次方程】知识点-第2张图片-四季读书网

（2）直接开平方法适用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）常数项移到等号的右边；

（2）方程两边都除以二次项系数；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法

知识点一公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，如果b²-4ac≥0，那么方程的两个根初三数学【解一元二次方程】知识点-第3张图片-四季读书网

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b²-4ac的值；

④若b²-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b²-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b²-4ac.

一元二次方程根的判别式

△＞0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

△=0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

△＜0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根

21.2．3 因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名称	理论依据	适用范围
直接开平方法	平方根的意义	形如x²=p或（mx+n）²=p(p≥0)
配方法	完全平方公式	所有一元二次方程
公式法	配方法	所有一元二次方程
因式分解法	当ab=0，则a=0或b=0	一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。