南京中考常考的根的分布问题,三个条件就够了

四季读书网 2026-09-25 11:24:33 10 0

各位家长、同学们好，我是博哥。

上一篇咱们讲了韦达定理，知道了两根之和和两根之积怎么求。今天讲一个南京本地考试特别爱考、也特别容易丢分的知识点——根的分布问题。

一、根的分布到底在问什么？

根的分布问题，本质上就是问：一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，在数轴上的什么位置？

比如考过的这些问法：两个根都大于1？两个根都小于0？一个根大于2一个根小于2？两个根都在1和3之间？这些都是。

怎么判断呢？核心思想是数形结合。一元二次方程的根，就是对应的二次函数y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标。所以根的位置，就是抛物线与x轴交点的位置。

不管哪种情况，都只需要看四个条件。我带过的学生里，把这三个条件记牢了，这类题基本不丢分。

第一个条件：开口方向（a的正负）。

这是最容易被忽略、但最关键的前提。a大于0开口向上，a小于0开口向下。开口方向不同，f(k)的正负判断就完全相反。很多孩子不管a正负，直接套用开口向上的结论，结果符号全反了。所以上手第一步先看a的正负，定了开口方向，后面的判断才有意义。

第二个条件：判别式Δ≥0。

这是前提。Δ≥0，方程才有实数根，抛物线才和x轴有交点。如果Δ<0，方程没有实数根，那就谈不上分布了。所以第二步算Δ，很多孩子上来就看对称轴，结果忘了这一步，白白丢分。

第三个条件：对称轴的位置。

二次函数的对称轴是x=-b/(2a)。对称轴在哪，决定了抛物线的顶点在哪，也就决定了两个根大概在什么范围。比如问两个根都大于k，那对称轴肯定要在k的右边，因为两个根关于对称轴对称，如果对称轴在k左边，那至少有一个根在k左边了。

第四个条件：端点处的函数值f(k)的正负。

这里面的f其实是在高中数学才会出现的符号，是取英文Function（功能作用）的首字母。它本质上代表的是自变量与因变量之间的一种特定对应法则。

所以f(k)就是把x=k代入二次函数得到的值。f(k)大于0，说明这个点在x轴上方；f(k)小于0，说明在x轴下方。这个条件非常关键。

比如问一个根大于k一个根小于k，那说明抛物线在x=k这个点穿过了x轴。如果a大于0开口向上，那x=k处在x轴下方，也就是f(k)小于0。如果a小于0开口向下，正好相反。

有了上面四个条件，5种常见情况都能自己推出来。建议孩子们自己动手推一遍，比背结论管用得多。

下面以a大于0开口向上为例，用方程x²-5x+6=0（两根为2和3）来举例，5种情况一看就懂：

1. 两根都大于k：条件是Δ≥0，对称轴大于k，f(k)大于0。比如k=1，两根2和3都大于1，满足条件。顶点在k右边，x=k处函数值在x轴上方，所以两个交点都在k右边。

2. 两根都小于k：条件是Δ≥0，对称轴小于k，f(k)大于0。比如k=4，两根2和3都小于4，满足条件。顶点在k左边，x=k处在x轴上方，两个交点都在k左边。

3. 一根大于k，一根小于k：条件是f(k)小于0。比如k=2.5，正好一根在左一根在右。x=k处在x轴下方，抛物线开口向上，必然穿过x轴两次。这种情况Δ自动大于0，不用单独验证。

4. 两根都在(k1, k2)内：条件是Δ≥0，k1小于对称轴小于k2，f(k1)大于0，f(k2)大于0。比如k1=1，k2=4，两根2和3都在(1,4)内。顶点在区间内，两个端点都在x轴上方，所以两个交点都在区间内。

5. 一根在(k1, k2)，另一根在(k2, k3)：条件是f(k1)乘以f(k2)小于0，f(k2)乘以f(k3)小于0。比如k1=1，k2=2.5，k3=4，根2在(1,2.5)内，根3在(2.5,4)内。在k1和k2之间穿过一次，在k2和k3之间穿过一次。

注意：以上都是a大于0的情况。如果a小于0，f(k)的正负全部反过来。所以先看a的正负，再判断。

第一个坑：忘记验证Δ≥0。

很多孩子只看对称轴和端点函数值，忘了先确认Δ≥0。结果算出来参数的范围，代入后Δ<0，方程根本没有实数根，那分布就不成立了。所以永远先算Δ，这是底线。

第二个坑：开口方向搞反。

a大于0开口向上，a小于0开口向下。开口方向不同，f(k)的正负判断就完全相反。很多孩子不管a正负，直接套用开口向上的结论，结果符号全反了。先定开口方向，再判断f(k)的符号。

第三个坑：区间端点遗漏。

题目说两根都大于k，那根能不能等于k？不能。所以是严格大于，f(k)大于0，不是大于等于0。但如果说两根都不小于k，那根可以等于k，这时候就要单独讨论。看清楚题目是大于还是不小于，等号能不能取到，要单独讨论。

今天讲的根的分布，是一元二次方程里的难点，也是南京本地考试的高频考点。

核心思想就四个字：数形结合。

把方程的根看成抛物线与x轴的交点，画个图，位置就清楚了。三个判断条件：Δ≥0、对称轴位置、端点函数值f(k)的正负。

这个知识点学会了，后面学二次函数的综合题都会用到。最后一道大题经常把二次函数和根的分布结合起来考，是基础中的基础。

下一篇咱们聊构造方程解题——看到两个对称式子，怎么想到构造一元二次方程？这也是常考题型。

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我是博哥，在南京教初高数学。觉得有用的话，点个关注，咱们下篇见。

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