2025年内江压轴题把待定系数、轴上动点到两定点等距、以及"绕x轴上动点旋转 90°"串在一起。前两问属于常规操作；第(3)问其实用K型全等（一线三垂直）就能直接写出旋转后点的坐标，再代入抛物线求解即可。
题源：2025·内江
类型：二次函数 + 轴上动点 + 等距 + 旋转 90° + K型全等
难度：⭐⭐⭐⭐
【原题】
一、题眼总览
二、第(1)问：求抛物线表达式
🔑 题眼
已知抛物线过 、、 三点，用待定系数法列三元一次方程组。
💭 思路
把三点坐标代入 ，解出 。因为 A、B 是 x 轴交点，也可以直接设交点式 ，再代入 C 求 ，计算更快。
✅ 计算
代入 、、：
，，。
由 代入前两式：
，
。
两式相加：，于是 。
所以抛物线表达式为 。
三、第(2)问：当 时求
🔑 题眼
直线 过点 ，与抛物线另一交点为 ；点 在对称轴 上，坐标为 。条件 说明 在线段 的垂直平分线上。
💭 思路
第一步：联立直线与抛物线求 D。
第二步：利用 列距离方程。因为 在 上，直接用两点间距离公式列 ，解出 。
✅ 计算
联立：
得 ，即 。
因式分解：，所以 或 。
对应点 ，故 。
设 ，由 ：
。
四、第(3)问：顶点 N 绕 P 旋转 90° 落到抛物线上
🔑 题眼
抛物线 ，顶点 。点 在 x 轴上，将 绕 旋转 90° 得到点 ，且 在抛物线上。
核心转化：绕定点旋转 90° ⇔ K型全等（一线三垂直）。
💭 思路
第一步：写出顶点 N 与动点 P 的坐标。
顶点 ，设 。
第二步：用 K型全等表示旋转后的点 H。
过 作水平线和竖直线构成"十字架"。从 向水平线作垂线，从 向竖直线作垂线，可得两个直角三角形全等（AAS）：
竖直距离： 到 x 轴的距离为 。 水平距离： 到直线 的距离为 。
旋转 90° 后，这两个距离分别变成 到 的水平距离和竖直距离。因为旋转方向有两种（顺时针、逆时针），所以 有两个可能位置：
情况一：
情况二：
直观记忆： 的"竖直分量 4"转到水平方向，"水平分量 "转到竖直方向，方向一左一右就得到两种情况。
第三步：把 H 代入抛物线列方程。
因为 在抛物线 上，分别把两种情况代入求解 。
✅ 计算
情况一：
代入抛物线：
判别式 ，所以
。
对应
或 。
情况二：
代入抛物线：
判别式 ，所以
。
对应
或 。
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