(2023新高考1)设函数在区间(0,1)单调递减，则的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D. [2, +∞)
解析：选D。题目中函数显然是复合函数，考核的知识点是复合函数单调性，那下面用两种方法解析此题。①复合函数单调性：同增异减。把复合函数分成内层函数和外层函数，分别看它们在对应区间里是增还是减；内层增、外层增，复合后整体增。内层减、外层减，复合后整体增。内层增、外层减，复合后整体减。内层减、外层增，复合后整体减；内层函数的值域必须落在外层函数的定义域里，不然没法复合，判断单调性时也要在公共定义域区间内讨论。，，,显然是指数函数，因为2>1所以 在定义域内是增函数；只要在区间(0,1)上单调递减就满足要求，这里可以用对称轴来判断，也可以求导。是开口向上的抛物线，对称轴是，只要对称轴在区间(0,1)右侧即可满足，即可满足要求。导数法我们在第二种方法中介绍。②复合函数求导：对于复合函数，链式求导公式为:。原函数，令f(x)=g(u),u=h(x)=x(x−a)求导:其中是指数函数恒大于0,ln2>0，只要满足(2x−a)区间(0,1)上小于等于0，f'(x)≤0，2−a≤0，即a≥2。
(2024新高考1)已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（）
A. (-∞.0] B. [-1,0] C. [-1.1] D. [0,+∞)
解析：选B。分段函数在R上单调递增，这就要求各段内部要单调递增，两段之间也要单调递增，这样先分段讨论两段内部，再看分段处的端点值。当时，是开口向下的抛物线的一部分，要使在此区间内单调递增，那么抛物线的对称轴应该不在内，也就是，即。
当时，。 而。当从小于0的区间趋近于0时，趋近于，而内，是增函数+增函数，还是增函数。
综上:条件可以使 在 上单调递增，使得函数两段整体上单调递增。最终得 。
高中数学｜函数单调性核心知识点
函数单调性，刻画的是自变量变化时，函数值随之增减的变化趋势，是函数最基础的性质，也是求解函数最值、抽象不等式、比较大小的基础。学习单调性，优先吃透定义，再掌握方法，不要死记二级结论。例如：2023年新高考1卷的真题，你即使记不住复合函数同增异减，单纯使用复合函数求导也可以，当然，你的工具越多，解决问题越方便。
一、单调性定义
设函数 的定义域为 ，区间 。
若对任意，当 时，总有 ，则称 在区间 上单调递增。 若对任意，当 时，总有 ，则称 在区间 上单调递减。
⚠️核心易错点
必须是任意的 ，只取两组特殊值满足条件，不能证明单调性。 单调性是区间上的局部性质，不一定在整个定义域成立。 反比例函数 ，不能说在定义域 单调递减，只能分开表述：在 递减，在 递减，不能用并集符号合并区间。 单独一个点，不谈单调性。
二、定义法证明单调性（大题必考）
标准五步：取值 → 作差 → 变形 → 判号 → 下结论
取值：任取区间内 ，设 $x_1 作差：计算 变形：因式分解、通分、配方，目标整理成乘积或者商式，方便判断正负 判号：结合 的范围，判断 的正负 结论：写明 在某某区间单调递增/单调递减
注意：不能代入特殊值直接判断符号。
三、导数法判断单调性
若函数在区间内可导：
函数单调递增 函数单调递减
⚠️重要细节
是单调递增的必要不充分条件。 如果导数仅仅在孤立点等于0，不改变整体单调性。例如 ，，函数在 上依旧单调递增。 求单调区间，第一步先写定义域！ 忽略定义域是高频丢分点。
四、复合函数单调性：同增异减
对于复合函数
内外函数单调性相同，复合函数单调递增；内外单调性相反，复合函数单调递减。
⚠️坑点提醒
先求复合函数的定义域。 单调区间是内层函数 的取值区间，不是外层函数的区间。
示例：外层函数 ，在 单调递增；内层
：内层递增，外层递增 → 复合函数递增 ：内层递减，外层递增 → 复合函数递减
五、单调性运算结论（选择填空快速使用）
在同一个区间内：
增 增 增；减 减 减 增 减 增；减 增 减 ：，单调性不变；，单调性反转
❗重要提醒：增−增、增×增，没有固定单调性，不能直接套用。 反转单调性的前提： 在区间内恒正或者恒负，不能取0、不能变号。
六、单调性综合考点
1. 奇偶性+单调性
奇函数：在关于原点对称的区间上，单调性相同 偶函数：在关于原点对称的区间上，单调性相反
2. 利用单调性解抽象不等式
核心作用：脱去 符号 若 单调递增：
⚠️自变量必须同时满足函数定义域，不要漏掉定义域限制条件。
3. 闭区间上的最值
函数在闭区间 单调，则最大值、最小值一定出现在区间端点；开区间不一定存在最值。
七、高频易错汇总
单调区间使用区间书写，不要写成集合形式。 导数等于0的点，不一定是单调区间分割点；只有导数变号的点，才是极值点。例如和在处都有,但在上是单调递增，在上,单调递减，在上,单调递增。 不要凭图像直观感受直接下结论，证明题优先使用定义法。图像确实能给人直观的感受，但是一般只是定性的分析，具体细微处定量分析还是要经过严谨计算证明。
学习思路
先吃透单调性的定义，理解增减的本质，不要死记“同增异减”这类二级结论。先用定义法完成证明，理解变化趋势；再学习导数，把导数当成描述变化快慢的工具。之后结合奇偶性、不等式综合训练，把知识点串联起来，构建完整的函数知识网络。
