长郡集团及天心区九年级第一次月考 22 题，二次函数题第三问
已知：抛物线解析式为 y = x² + 2x - 3，直线 BC 的解析式为 y = -x - 3。
其中点 B 坐标为 (-3, 0)，点 C 坐标为 (0, -3)。
问：在直线 BC 下方的抛物线上，是否存在一点 N，使得 △NBC 的面积最大？若存在，求出最大面积及点 N 的坐标。
01. 原理图解：面积 = 铅垂高 × 水平宽 ÷ 2
我们先抛开动点，来看一个更基础的问题：对于一个三边都倾斜的斜三角形 ABC，如何快速表示它的面积？
解决思路是“竖切”，即：过中间的顶点 C 作铅垂线，交对边 AB 于点 D。线段 CD 将 △ABC 分割为左右两个小三角形：△ACD 和 △BCD。
两个核心概念：
铅垂高 h：即线段 CD 的长度。
水平宽 d：点 A 和点 B 横坐标之差的绝对值。
根据三角形面积公式推导：
S△ABC = S△ACD + S△BCD
S△ABC = 1/2 × CD × AE + 1/2 × CD × BF
提取公因式 CD，因为 AE + BF 正好等于水平宽 d，所以我们得到了一个极其简洁的通用公式：
不管三角形怎么斜，只要过动点作一条竖直线，面积就等于 1/2 × 铅垂高 × 水平宽。
02. 实战应用：四步秒杀原题
回到文章开头的题目。
（过点 N 作 y 轴平行线，交 BC 于点 M，MN 即为铅垂高）
第一步：设动点坐标
设抛物线上的动点 N 的横坐标为 t（因为 N 在 B、C 之间，所以 -3 < t < 0）。
代入抛物线解析式，得点 N 的坐标为：
N(t, t² + 2t - 3)
第二步：表示“铅垂高”
过点 N 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 M。
因为点 M 在直线 y = -x - 3 上，且横坐标也是 t，所以点 M 的坐标为：
M(t, -t - 3)
铅垂高 h 就是线段 MN 的长度（注意用“上减下”）：
h = yM - yN = (-t - 3) - (t² + 2t - 3)
化简得：
h = -t² - 3t
第三步：确定“水平宽”
水平宽 d 是定点 B 和定点 C 横坐标之差的绝对值。这是一个定值，不随 t 变化：
d = |点 C 的横坐标 - 点 B 的横坐标| = |0 - (-3)| = 3
第四步：列函数求最值
根据铅垂高法公式 S = 1/2 × d × h，代入数据：
S△NBC = 1/2 × 3 × (-t² - 3t)
S = -3/2 t² - 9/2 t
现在，问题变成了求这个开口向下的二次函数的最大值。我们进行配方：
S = -3/2 (t² + 3t)
S = -3/2 (t + 3/2)² + 27/8
最终结果：
当 t = -3/2 时，面积 S 取得最大值 27/8。
此时点 N 的纵坐标为：(-3/2)² + 2(-3/2) - 3 = -15/4。
所以，存在点 N(-3/2, -15/4)，使 △NBC 的面积最大，最大面积为 27/8。
03. 湛老师划重点：面积最大，就在“中点”！
核心结论：
当点 N 的横坐标，等于点 B 和点 C 横坐标的平均值（即中点）时，三角形的面积最大！
用文字表示就是：
点 N 的横坐标 = (点 B 的横坐标 + 点 C 的横坐标) ÷ 2
适用条件：
动点 N 必须在两个定点 B、C 之间的抛物线弧段上运动（即 N 的横坐标在点 B 和点 C 的横坐标之间）。
抛物线必须是标准的二次函数（开口向上或向下均可）。
满足这两个条件，你就可以直接用“中点公式”秒杀答案！
回到原题验证：
我们刚才的题目中：
点 B 横坐标是 -3，点 C 横坐标是 0
它们的中点是：(-3 + 0) ÷ 2 = -1.5
所以，点 N 的横坐标就是 -1.5。
你觉得这个“铅垂高法和中点结论”好理解吗？欢迎在评论区留言！
