研页数学 · 七年级代数
绝对值几何意义求最值
把式子看成距离，就能找到思路
几个绝对值相加，怎样求最小值？看到一串式子，你是不是准备先分类讨论，再逐个去掉绝对值符号？
先别急。把每一项翻译成数轴上的距离，问题就会变得直观。
这节课，我们用视频中的动点变化，一步步看清：为什么有时只在一个点取到最小值，有时却在一整段上都能取到？
看视频时，别只盯着最后的答案。更重要的是这两个问题：为什么不能更小？什么时候能够取到？
先把绝对值，翻译成距离
在数轴上，动点 P 表示的数记作 x。对于一个固定的数 a：
|x－a|
表示动点 P 到定点 a 的距离
例如，|x－2025| 表示动点到数轴上 2025 所对应的点的距离。两个点越靠近，距离越小；当 x＝2025 时，两点重合，距离为 0。
因为距离不可能是负数，所以这一项的最小值就是 0，在 x＝2025 时取得。
两项相加：为什么一整段都可以？
来看：
|x－2025|＋|x－2026|
它表示动点到两个定点的距离之和。
当动点位于两个定点之间时，两段距离恰好拼成两定点之间的线段，长度为 1。动点在这段上移动，一段增加多少，另一段就减少多少，总和始终等于 1。
如果动点移到两个定点的外侧，超出的一段会在两个绝对值中各算一次，距离和就大于 1。
最小值：1
取等条件：2025≤x≤2026
注意，两个端点也包括在内。不是只能取这段的中点，更不是只有一个答案。
三项相加：两端配对，剩下一项
把定点增加到 2025、2026、2027。先把最左边和最右边对应的两项配成一组：
|x－2025|＋|x－2027|≥2
这一组在 2025≤x≤2027 时取等。中间还剩一项：
|x－2026|≥0
要让它等于 0，就必须让 x＝2026。这个位置同时也在外侧两点之间，所以两部分能够同时取到各自的最小值。
最小值：2＋0＝2
取等条件：x＝2026
这一次，中间剩下的那一项，把动点的位置锁定了。
四项相加：关键是“同时取等”
再增加一个定点，四个数从 2025 排到 2028。仍然从两端向中间配对：
|x－2025|＋|x－2028|≥3
外侧一组：2025≤x≤2028 时取等
|x－2026|＋|x－2027|≥1
内侧一组：2026≤x≤2027 时取等
所以，总和至少为 3＋1＝4。但这还不是分析的终点。
要真正取到 4，两组必须同时取等。因此，要找两个取值范围的公共部分。
公共部分正是中间两个数之间的整段。只要 2026≤x≤2027，外侧一组的和就等于 3，内侧一组的和就等于 1。
最小值：4
取等条件：2026≤x≤2027
视频里，动点在这一段上来回移动，总和不变。这个动画说明的不是“中点最优”，而是整个中间区间都能取到最小值。
五项相加：中间项再次锁定位置
当定点从 2025 排到 2029 时，最外侧的 2025 与 2029 配成一组，里面的 2026 与 2028 配成一组，剩下中间的 2027。
两组距离和分别不小于 4 和 2，剩余距离不小于 0。令 x＝2027，中间项等于 0，并且每一组都能同时取等。
最小值：4＋2＋0＝6
取等条件：x＝2027
把方法记下来，不只记口诀
下次遇到同类题，先把定点从小到大排列，再从两端向中间配对。
奇数项：取中间那个数
剩余项必须等于 0，动点就停在按大小排序后的中间点。这里的“中间”，不一定是最左、最右两点的中点。
偶数项：取中间两数之间
两两配对后没有剩余项。中间两个数之间的任意数，包括端点，都能让所有配对同时取等。
别漏掉适用条件
本讲讨论的是 |x－定数| 这样的距离直接相加，每项的系数均为 1，且 x 可以取任意实数。如果各项系数不同，或题目限制了 x 的范围，就不能不加检查地套用结论。
配对后，把每一对定点之间的距离相加，就能得到下界；再检查各组能否同时取等，才能确定它确实是最小值。
先排序，再配对；
找到下界，还要检查同时取等。
做最值题，不仅要写“最小值是多少”，还要写清“x 取什么值时能够达到”。这才是一条完整的分析链路。
为什么偶数项的答案可能是一整段？试着不用口诀，用“距离”解释一下。有疑问，欢迎在评论区留言。
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