中考数学复习第二讲:数与式(二)

四季读书网 2026-09-23 18:40:16 12 0

中考数学复习第二讲:数与式(二)

中考数学一轮复习第二讲：数与式（二）

包含两大必考板块：分式及其运算、二次根式及其运算。

属于中考基础必考题，经常出现在选择、填空、计算题。很多同学容易在分母限制、符号、双重非负性上面丢分。

数与式（二）

一、分式

1. 定义：

形如 A/B（A、B为整式，B里面含有字母）的式子

- B等于0时，分式没有意义

- B不等于0时，分式有意义

2. 分式取值情况

- 分式值为0：

A=0，同时B≠0

- 分式值为1：

A=B，同时B≠0

- 分式值为‑1：

A+B=0（A、B互为相反数），同时B≠0

- 分式结果为正数：

A、B符号相同

- 分式结果为负数：

A、B符号相反

3. 分式基本性质

分子分母同时乘或者除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

A/B = (A×C)/(B×C) ，

A/B = (A÷C)/(B÷C) ，其中C≠0

符号法则：‑b/a = b/(‑a) = (‑b)/a

4. 约分操作步骤

①把分子、分母分别做因式分解

②约去分子与分母的公因式

③最终结果化成最简分式或者整式

5. 通分

利用分式性质，把多个异分母分式转化成同分母分式。

最简公分母找法：分母系数取最小公倍数，相同因式取最高次幂，再把所有不同因式相乘。

二、分式运算

（1）分式乘除、乘方

乘法：(a/b) × (c/d) = (a·c)/(b·d)

除法：(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a·d)/(b·c)

👉分式除法记住把后面的分子分母颠倒再相乘

乘方：

(a/b)的n次方 = (a的n次方)/(b的n次方)

n是正整数，注意b≠0

（2）分式加减

同分母分式加减：a/b ± c/b = (a±c)/b

异分母分式加减：a/b ± c/d = (a·d)/(b·d) ± (b·c)/(b·d) = (a·d ± b·c)/(b·d)

⭐重要提醒：分式运算最后的结果，一定要化成最简分式或者整式，计算途中可以适时约分。

三、二次根式

1. 定义：形如√a（a≥0）的式子

√符号的根指数2一般省略不写，a叫做被开方数。

2. 双重非负性（考试高频）

√a ≥ 0，计算出来结果一定不是负数；

被开方数 a ≥ 0。

👉只有a大于或者等于0的时候，√a才有意义。

3. 核心公式

√(a²) = |a|

(√a)² = a，这里要求a≥0

乘法：√(ab)=√a·√b （a≥0，b≥0）

除法：√(a/b)=√a / √b （a≥0，b＞0）

4. 最简二次根式要求

被开方数里面不能带有分母，同时不能含有可以开得尽方的因式。

5. 分母有理化两种常用类型

第一种：1/√a = √a / a

第二种：1/(√a+√b) = (√a‑√b) / (a‑b)

👉这里用到平方差公式做变形

四、二次根式计算

（1）乘除运算

乘法：√a × √b = √(ab) （a≥0，b≥0）

拓展：√a·√b·√c = √(abc)

m√a × n√b = m·n·√(ab)

除法：√a ÷ √b = √(a/b) （a≥0，b＞0）

👉除以一个根式等价于乘它的倒数

（2）二次根式加减法

1.同类二次根式：化简成最简二次根式之后，被开方数字完全一样的根式。

2.合并同类二次根式三步：

①全部化为最简二次根式

②只对前面的系数做加减

③被开方数、根指数保持原样

m√a + n√a = (m+n)√a

（3）二次根式混合运算

1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；括号里面优先计算。

2.高频计算技巧

分母有理化常用：

1/√a = √a / a

√b / √a = √(a·b) / a

1/(√m‑√n) = (√m+√n)/(m‑n)

1/(√m+√n) = (√m‑√n)/(m‑n)

直接套用乘法公式：

(a+b)(a‑b)=a²‑b²

(a±b)²=a²±2ab+b²

a的m次方 × b的m次方 = (a·b)的m次方

💡复习避坑小贴士

本章节最容易丢分的4处：

①分式题目一定要留意分母不能等于0；

②二次根式牢记被开方数必须≥0；

③√(a²)化简一定要带上绝对值|a|；

④分母有理化，注意符号不要写错。

做题先圈出限制条件，再动手计算。

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