初二上必考专题3:最值问题题型全合集

题型一：将军饮马问题（最常见）

在古代的战场上，一位将军率领骑兵部队从营地（我们记为点 A）出发，准备前往前线阵地执行任务。出发前，他发现部队的水源即将耗尽，必须先到附近的一条直线形河流（记为直线 l）边让所有战马饮水，之后才能继续前往阵地（记为点 B）。

我们也可以把问题简化，用数学语言来表达，也是将军饮马题型中最基础最的一种：

①两定一动型（经典）

如图，在直线上找一点P使得PA+PB有最小值。

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段，即化折为直。

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

这就是经典的“将军饮马”问题，思考如何找到两个固定点与一条直线之间的最短路径关系。通过这个问题，可以引出轴对称的性质、两点之间线段最短等重要的数学概念和定理。

在此基础上，我们也来看几种常考的问题变形。

②一定两动型（点点）

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

③一动两定型（点线）

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

在考试中，这些题目可能会有细微的变化，但是万变不离其宗，考察大家的思路是不变的。