【真题】2018年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2018年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

下列函数中，在 处不可导的是 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

在  处泰勒拟合一下即可，D 选项根据导数定义判断即可。选 D。

unsetunset第2题unsetunset

过点 , 且与曲面  相切的平面为 ?

(A)  与 .

(B)  与 .

(C)  与 .

(D)  与 .

设切点，列出等式求出有两个满足条件的切点，依次求解切平面方程即可。

unsetunset第3题unsetunset

 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

泰勒，选 B。

unsetunset第4题unsetunset

设  则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 C，根据对称性得到 ，一般有一个能算出来具体值，那么另外两个定性分析大概率就在这个值的两侧，本题就是这样。

unsetunset第5题unsetunset

下列矩阵中, 与矩阵  相似的为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

只有  选项满足 。

unsetunset第6题unsetunset

设  为  阶矩阵, 记  为矩阵  的秩,  表示分块矩阵, 则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

C 选项显然错，其余选项分块即可，答案选 A。

unsetunset第7题unsetunset

设随机变量  的概率密度  满足 , 且   则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

送分题。

unsetunset第8题unsetunset

设总体  服从正态分布 .  是来自总体  的简单随机样本, 据此样本检验假设: , 则 ?

(A) 如果在检验水平  下拒绝 , 那么  下必拒绝 .

(B) 如果在检验水平  下拒绝 , 那么  下必接受 .

(C) 如果在检验水平  下接受 , 那么  下必拒绝 .

(D) 如果在检验水平  下接受 , 那么  下必接受 .

分  已知和未知两种情况来看，发现在  变小的时候接受域都会变大，故选 D。

unsetunset第9题unsetunset

若  则  ?

 型套路题。

unsetunset第10题unsetunset

设函数  具有 2 阶连续导数. 若曲线  过点  且与曲线  在点  处相切, 则  ?

和 2005 年数一第 17 题如出一辙，利用分部积分降低导数的阶即可。

unsetunset第11题unsetunset

设 ，则  ?

套公式即可。

unsetunset第12题unsetunset

设  为球面  与平面  的交线，则  ?

好题。交线为过圆心的大圆，使用轮换对称性并凑出曲线方程即可。

unsetunset第13题unsetunset

设  阶矩阵  有两个不同特征值， 是  的线性无关的特征向量，且满足 ，则  ?

 的特征向量一定是  的特征向量，代入题目等式得到 ，而  的两个特征值是不等的，所以 .

unsetunset第14题unsetunset

设随机事件  与  相互独立， 与  相互独立，. 若 ，，则  ?

基础题。

unsetunset第15题unsetunset

求不定积分 .

换元后分部积分即可。

同年数三考了类似的一道不定积分题目如下，可以自行练习：

unsetunset第16题unsetunset

将长为  的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.

高中题，使用权方和不等式即可。

unsetunset第17题unsetunset

设  是曲面  的前侧，计算曲面积分

补面加高斯。

unsetunset第18题unsetunset

已知微分方程 ，其中  是  上的连续函数.

(1) 若 ，求方程的通解；

(2) 若  是周期为  的函数，证明：方程存在唯一的以  为周期的解.

非常好的一道题。第一问直接套一阶线性微分方程通解公式即可。

第二问，利用通解公式中的积分可以写成变限积分的形式来解决，要说明周期性，只需要使得  ，换元并结合  的周期性化简得到只有唯一的任意常数  满足条件，从而证明唯一性。

unsetunset第19题unsetunset

设数列  满足：. 证明数列  收敛，并求 .

高中题，只不过我们可以通过泰勒、拉格朗日中值等方法简化高中构造函数求导的过程。上下界看  的值域；单调性看  和  的大小关系。

总有人不相信这是高中题，我随便搜一道都比这道真题难得多……

unsetunset第20题unsetunset

设实二次型 ，其中  是参数.

(1) 求  的解；

(2) 求  的规范形.

第一问，根据题意得到线性方程组，求解即可。

第二问，根据第一问的启发，我们需要分两种情况，也就根据线性变换是否可逆来选择不同的处理方法。

unsetunset第21题unsetunset

已知  是常数, 且矩阵  可经初等列变换化为矩阵 .

(1) 求 ;

(2) 求满足  的可逆矩阵 .

两问都很基础。

unsetunset第22题unsetunset

设随机变量  与  相互独立,  的概率分布为 ,  服从参数为  的泊松分布. 令 .

(1) 求 ;

(2) 求  的概率分布.

第一问直接根据定义计算即可。

第二问，首先得到  的可能取值，然后根据  和  的独立性结合泊松分布定义分类讨论解决。

unsetunset第23题unsetunset

设总体  的概率密度为

其中  为未知参数,  为来自总体  的简单随机样本. 记  的最大似然估计量为 .

(1) 求 ;

(2) 求 .

第一问，简单的似然估计。

第二问，根据第一问求出的  表达式结合期望的定义求解即可。

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