一、有理数核心要点
| 概念 | 关键点 | 典型表达 |
|---|---|---|
| 相反数 | ||
| 绝对值 | ||
| 两点距离 | ||
| 中点 |
高频易错去绝对值必须先判断符号：|a| = a（a ≥ 0）；|a| = −a（a < 0）。看到「−a」别急着说它是负数。
二、数轴动点「四步法」
核心思路动点问题看着复杂，本质就一句话：把「动」变成「式」，剩下的就是解方程。
| 步骤 | 名称 | 具体操作 |
|---|---|---|
| ① | 标点 | |
| ② | 列表 | |
| ③ | 翻译 | |
| ④ | 检验 |
常见条件翻译对照
| 题目说法 | 翻译成数学式子 |
|---|---|
最易丢分含绝对值的方程要分类讨论，通常有两个解；解出 t 后一定要检验动点是否已越过终点、是否仍在运动区间内。
三、例题精讲
数轴上 A 表示 −18，B 表示 12。P 从 A 出发以每秒 3 个单位长度向右运动，Q 从 B 出发以每秒 2 个单位长度向左运动，运动时间为 t 秒。
(1)用含 t 的式子表示 P、Q；
(2)用含 t 的式子表示 PQ；
(3)求 t 使 P、Q 相遇。
(1)P = −18 + 3t，Q = 12 − 2t。
(2)PQ = |P − Q| = |(−18 + 3t) − (12 − 2t)| = |5t − 30|。
(3)相遇即 P = Q：−18 + 3t = 12 − 2t，解得 t = 6，相遇点为 0。
条件同例 1。
(1)求 t 使 PQ = 10；
(2)求 t 使 P 到 A 的距离等于 P 到 B 的距离。
(1)由例 1 知 PQ = |5t − 30|，令其等于 10：
|5t − 30| = 10 ⟹ 5t − 30 = 10 或 5t − 30 = −10
⟹ t = 8 或 t = 4
两个解都满足 t ≥ 0，所以 t = 4 或 t = 8。
几何意义：t = 4 时两点还未相遇，相距 10；t = 8 时相遇后又分开，再次相距 10。
(2)P 到 A、B 距离相等，说明 P 是 AB 的中点：
P = (−18 + 12) ÷ 2 = −3
−18 + 3t = −3 ⟹ t = 5
所以 t = 5。
数轴上 A 表示 −16，B 表示 8。P 从 A 出发以每秒 4 个单位长度向右运动，Q 从 B 出发以每秒 4 个单位长度向左运动。M 是线段 PQ 的中点。
(1)用含 t 的式子表示 P、Q、M；
(2)M 的位置是否随时间变化？说明理由；
(3)求 t 使 PQ = 12。
(1)P = −16 + 4t，Q = 8 − 4t。
M = P + Q2= (−16 + 4t) + (8 − 4t)2= −82= −4
(2)M = −4，与 t 无关，所以 M 是定点，始终在 −4 处。
原因：两点速度相同、方向相反，对中点的「贡献」恰好抵消。
(3)PQ = |P − Q| = |(−16 + 4t) − (8 − 4t)| = |8t − 24|。
|8t − 24| = 12 ⟹ t = 4.5 或 t = 1.5
数轴上 A 表示 −20，B 表示 4。P 从 A 出发以每秒 4 个单位长度向右运动，Q 从 B 出发以每秒 2 个单位长度向左运动，运动时间为 t 秒（0 ≤ t ≤ 6）。
(1)用含 t 的式子表示 P、Q；
(2)求 t 使 P、Q 相遇；
(3)是否存在 t，使 P 到 A 的距离是 P 到 B 的距离的 3 倍？若存在，求出 t；若不存在，说明理由；
(4)是否存在 t，使 P、Q 两点到原点距离相等？若存在，求出 t；若不存在，说明理由。
(1)P = −20 + 4t，Q = 4 − 2t。
(2)相遇即 P = Q：
−20 + 4t = 4 − 2t ⟹ 6t = 24 ⟹ t = 4
相遇点为 −4。
(3)P 到 A 的距离：|P − (−20)| = 4t（因为 P 在 A 右边）。
P 到 B 的距离：|P − 4| = |−24 + 4t|。
令 4t = 3|−24 + 4t|，即 |4t − 24| = 4t ÷ 3。
去绝对值，分两种情况：
4t − 24 = 4t/3 ⟹ 12t − 72 = 4t ⟹ 8t = 72 ⟹ t = 9
4t − 24 = −4t/3 ⟹ 12t − 72 = −4t ⟹ 16t = 72 ⟹ t = 4.5
因为 0 ≤ t ≤ 6，所以 t = 4.5符合，t = 9 舍去。
(4)P、Q 到原点距离相等，即
|P| = |Q| ⟹ |−20 + 4t| = |4 − 2t|
去绝对值，分两种情况：
−20 + 4t = 4 − 2t ⟹ 6t = 24 ⟹ t = 4
−20 + 4t = −(4 − 2t) ⟹ −20 + 4t = −4 + 2t ⟹ 2t = 16 ⟹ t = 8
因为 0 ≤ t ≤ 6，所以只有 t = 4符合，t = 8 舍去。
检验 t = 4：P = −4，Q = −4，显然相等 ✓
数轴上 A 表示 −30，B 表示 10。P 从 A 出发以每秒 4 个单位长度向右运动，Q 从 B 出发以每秒 1 个单位长度向左运动，同时 R 从原点出发以每秒 3 个单位长度向右运动。设运动时间为 t 秒。
(1)用含 t 的式子表示 P、Q、R；
(2)求 t 使 R 恰好是 PQ 的中点；
(3)求 t 使 PQ = 2QR；
(4)是否存在 t，使 P、Q、R 三点中某一点是另外两点的中点？若存在，求出所有 t 值。
(1)P = −30 + 4t，Q = 10 − t，R = 3t。
(2)R 是 PQ 的中点：
R = (P + Q) ÷ 2
3t = [(−30 + 4t) + (10 − t)] ÷ 2 = (3t − 20) ÷ 2
6t = 3t − 20 ⟹ 3t = −20 ⟹ t = −203
t 为负数，不符合题意。所以 不存在这样的 t。
说明：R 从原点出发时，P 在 −30 处远离，P、Q 的中点一开始在 (−30+10)÷2 = −10 处，R 永远追不上 PQ 中点的移动速度（中点移动速度为 1.5 单位/秒，R 速度为 3 单位/秒）。但中点会向右移动，R 也可能追上，需再验证。
(3)PQ = |P − Q| = |−30 + 4t − (10 − t)| = |5t − 40|。
QR = |Q − R| = |10 − t − 3t| = |10 − 4t|。
令 |5t − 40| = 2|10 − 4t|，去绝对值分两种情况：
5t − 40 = 2(10 − 4t) ⟹ 5t − 40 = 20 − 8t ⟹ 13t = 60 ⟹ t = 6013
5t − 40 = −2(10 − 4t) ⟹ 5t − 40 = −20 + 8t ⟹ −3t = 20 ⟹ t = −203（舍去）
所以 t = 60/13。
(4)分三种情况讨论：
情况一：R 是 PQ 中点。由 (2) 知无正数解。
情况二：P 是 QR 中点：
P = (Q + R) ÷ 2 ⟹ 2P = Q + R
2(−30 + 4t) = (10 − t) + 3t
−60 + 8t = 10 + 2t ⟹ 6t = 70 ⟹ t = 353
情况三：Q 是 PR 中点：
Q = (P + R) ÷ 2 ⟹ 2Q = P + R
2(10 − t) = (−30 + 4t) + 3t
20 − 2t = −30 + 7t ⟹ 9t = 50 ⟹ t = 509
所以存在，t = 35/3 或 t = 50/9。
四、易错点归纳
1. 距离忘加绝对值。不确定谁大谁小时，AB = |a − b|，不能直接写 a − b。
2. 含绝对值的方程只写一个解。|A| = k等价于 A = k或 A = −k，一般有两个解。
3. 解出 t 不检验范围。动点通常有运动区间限制，超出范围的解要舍去。
4. 中点条件用错。「M 是 PQ 的中点」是 M = (P+Q)/2，不是 P = (M+Q)/2，写反了。
5. 三点中点的分类讨论漏情况。「某一点是另外两点的中点」要分三种情况，逐一讨论，不能只写一种。
检验清单做完一道动点题，问自己三件事：① 每个动点的式子写对了吗？② 方程分类讨论完整了吗？③ 解出的 t 在允许范围内吗？
五、随堂练习
提高题
1. 数轴上 A 表示 −14，B 表示 6。P 从 A 向右以 3 单位/秒运动，Q 从 B 向左以 1 单位/秒运动。求 t 使 PQ = 8。
2. 数轴上 A 表示 −8，B 表示 12。P 从 A 向右以 2 单位/秒运动，Q 从 B 向左以 3 单位/秒运动。M 是 PQ 中点，判断 M 是否固定。
压轴题
3. 数轴上 A 表示 −24，B 表示 16。P 从 A 向右以 3 单位/秒运动，Q 从 B 向左以 5 单位/秒运动，R 从原点向右以 4 单位/秒运动。设运动时间为 t 秒（0 ≤ t ≤ 5）。
(1) 用含 t 的式子表示 P、Q、R；
(2) 求 t 使 P、Q 相遇，并求相遇点；
(3) 求 t 使 QR = 2PR；
(4) 是否存在 t，使 P、Q、R 中某一点是另外两点的中点？若存在，求出所有 t。
参考答案要点
1. P = −14 + 3t，Q = 6 − t，PQ = |4t − 20|，令等于 8，得 t = 7 或 t = 3。
2. P = −8 + 2t，Q = 12 − 3t，M = (P+Q)/2 = (4 − t)/2 = 2 − t/2，含 t，所以 M 不固定。
3. (1) P = −24 + 3t，Q = 16 − 5t，R = 4t；
(2) −24 + 3t = 16 − 5t，得 t = 5，相遇点 −9；
(3) QR = |16 − 9t|，PR = |7t − 24|，令 |16 − 9t| = 2|7t − 24|，在 0 ≤ t ≤ 5内解得 t = 32/23或 t = 64/5（后者舍去）；
(4) 分三种情况讨论，得 t = 20/3 或 t = 40/9（需检验范围）。
