一、尺规作图的基本规则
尺规作图，是指只允许使用圆规和没有刻度的直尺来画图。这两个工具能做的事很有限，组合起来却能解决大量几何问题。
| 工具 | 允许做的事 | 对应的几何意义 |
|---|---|---|
| 直尺 | ||
| 圆规 |
三条铁律
①直尺上不能有刻度，不能直接量取长度；
②每一步作图都要有依据（通常是全等三角形的判定）；
③保留作图痕迹（弧线、交点），不能只画结果。
语言规范作图时常用这几句话，写解答题时要会表达：
「以点 O为圆心，适当长为半径作弧，交 OA于点 C」
「分别以 M、N为圆心，大于 ½MN的长为半径作弧，两弧交于点 P」
二、五种基本作图
下面五种作图是尺规作图的「基本功」，所有复杂的作图题都由它们组合而成。
作图 1 作一条线段等于已知线段
作射线 AX（端点 A，方向任意）。
以点 A为圆心，以已知线段 a的长为半径作弧，交射线 AX 于点 B。
线段 AB就是所求作的线段。
原理：圆规两脚间的距离不变，所以弧上任意一点到圆心的距离都等于已知长度，即 AB = a。
作图 2 作一个角等于已知角
以已知角 ∠AOB的顶点 O为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA于点 C，交 OB于点 D。
作射线 O′B′。
以点 O′为圆心，OC的长为半径作弧，交 O′B′于点 D′。
以点 D′为圆心，CD的长为半径作弧，与前一条弧交于点 C′。
作射线 O′C′，则 ∠B′O′C′ = ∠AOB。
依据连接 CD和 C′D′，在 △OCD 与 △O′C′D′ 中：
OC = O′C′，OD = O′D′，CD = C′D′
所以 △OCD ≌ △O′C′D′（SSS），从而 ∠AOB = ∠B′O′C′。
作图 3 作已知角的平分线
以角 ∠AOB的顶点 O为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA于点 C，交 OB于点 D。
分别以 C、D为圆心，大于 ½CD的长为半径作弧，两弧在角的内部交于点 P。
作射线 OP，射线 OP 即为所求的角平分线。
依据连接 PC、PD。由作图知 OC = OD，PC = PD，OP = OP，
所以 △OCP ≌ △ODP（SSS），得 ∠COP = ∠DOP。
注意：半径必须大于 ½CD，否则两弧不会相交。
作图 4 作已知线段的垂直平分线
分别以线段 AB的两个端点 A、B为圆心，大于 ½AB的长为半径作弧，两弧分别交于点 M和点 N。
作直线 MN，直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。
若 MN 与 AB 交于点 O，则 O就是 AB 的中点。
依据由作图知 MA = MB，NA = NB，所以 M、N 都在 AB 的垂直平分线上。
两点确定一条直线，故直线 MN 就是 AB 的垂直平分线（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
顺带收获这个作图还可以用来找线段中点、作对称轴，是使用频率最高的基本作图之一。
作图 5 过一点作已知直线的垂线
情形一：点在直线上
以点 P为圆心，适当长为半径作弧，交直线 l于 C、D两点。
分别以 C、D为圆心，大于 ½CD的长为半径作弧，两弧交于点 M。
作直线 PM，则 PM⊥ l，垂足为 P。
情形二：点在直线外
以点 P为圆心，适当长为半径作弧，交直线 l于 C、D两点。
分别以 C、D为圆心，大于 ½CD的长为半径作弧，两弧在直线 l 的另一侧交于点 M。
作直线 PM，则 PM⊥ l。
易错情形二中，第二步作的弧要交在直线另一侧，这样 M 与 P 分居直线两边，才能作出垂线。如果两弧交在 P 的同侧，作出的就不是垂线了。
三、尺规作图与图形变换的再认识
轴对称、平移、旋转这三种图形变换，看起来和尺规作图是两回事，其实它们是同一件事的两种说法：变换告诉我们「图形变成什么样」，尺规作图告诉我们「怎样一步步画出来」。
| 变换 | 核心性质 | 尺规作图怎么画 |
|---|---|---|
| 轴对称 | ||
| 平移 | ||
| 旋转 |
一句话理解图形变换给了「目标」，尺规作图给了「路径」。掌握了基本作图，就能把任何一种图形变换精确地画出来。
四、例题精讲
已知线段 a、b、c，求作 △ABC，使 AB = c，BC = a，CA = b。
①作线段 AB = c（用基本作图 1）。
②以 A为圆心、b为半径作弧；以 B为圆心、a为半径作弧，两弧交于点 C。
③连接 AC、BC，△ABC 即为所求。
依据：三边对应相等，△ABC 的形状和大小唯一确定（SSS）。
已知线段 b、c 和 ∠α，求作 △ABC，使 AB = c，AC = b，∠A = ∠α。
①作 ∠MAN = ∠α（用基本作图 2）。
②在射线 AM 上截取 AB = c；在射线 AN 上截取 AC = b。
③连接 BC，△ABC 即为所求。
依据：两边及其夹角对应相等，三角形唯一确定（SAS）。
已知 △ABC，求作它的外接圆圆心（即三条边的垂直平分线的交点）。
①作边 AB 的垂直平分线 l₁（基本作图 4）。
②作边 AC 的垂直平分线 l₂，与 l₁交于点 O。
③点 O就是 △ABC 外接圆的圆心。
原理：到三角形三个顶点距离相等的点，是三条边垂直平分线的交点。以 O 为圆心、OA 为半径画圆，就得到外接圆。
已知 △ABC 和直线 l，求作 △ABC 关于直线 l 的对称图形。
①过点 A作直线 l 的垂线，垂足为 D（基本作图 5）。
②在垂线 AD 上，以 D 为圆心、DA 为半径作弧，交 AD 的延长线于点 A′，则 A′ 是 A 的对称点。
③同法作出 B′、C′。
④连接 A′B′、B′C′、C′A′，△A′B′C′ 即为所求。
原理：对称轴垂直平分对应点的连线。
已知直线 l 和同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA + PB最小。
①作点 A 关于直线 l 的对称点 A′（基本作图 5）。
②连接 A′B，交直线 l 于点 P。
③点 P 即为所求。
原理：由对称知 PA = PA′，所以 PA + PB = PA′ + PB。当 A′、P、B 三点共线时，A′P + PB 最短，即 A′B 的长。
已知 ∠α，求作一个角，使它等于 2∠α。
①作 ∠AOB = ∠α（基本作图 2）。
②以 O为圆心、任意长为半径作弧，交 OA 于 C、交 OB 于 D。
③以 D为圆心、CD为半径作弧，交前弧于点 E。
④作射线 OE，则 ∠AOE = 2∠α。
原理：连续作两次相等的角，就得到角的 2 倍。同理可作 3 倍、4 倍角。
五、易错点与注意事项
1. 作图痕迹不保留。考试中只画结果不画弧线，会被扣分。弧线、交点都要留。
2. 半径太小，弧不相交。作角平分线、垂直平分线时，半径必须大于两点距离的一半。
3. 语言表述不完整。「作弧」「交于点」「连接」这些动词要写清楚，不能只说「画出 XX」。
4. 把直尺当刻度尺用。尺规作图不允许直接量长度，只能通过圆规截取。
5. 忽略分类讨论。如「过一点作垂线」分点在直线上、点在直线外两种情形。
6. 不会写依据。每种作图的依据都是全等三角形的判定，要能说清楚用了 SSS 还是 SAS。
检查清单做完一道尺规作图题，回头问自己三件事：
① 痕迹留了吗？ ② 依据说清了吗？ ③ 有没有漏掉某种情形？
六、随堂练习
基础题
1. 已知线段 a，作一条线段 AB = 2a。
2. 已知 ∠α，作 ∠AOB = ∠α。
3. 已知线段 MN，作它的中点 O。
4. 已知 △ABC，作 BC 边上的高 AD。
提高题
5. 已知线段 a、b 和 ∠α，求作 △ABC，使 AB = a，AC = b，∠A = ∠α。
6. 已知 △ABC，在 BC 边上求作一点 P，使点 P 到 AB、AC 的距离相等。
7. 已知直线 l 和直线外一点 P，求作过点 P 且与 l 平行的直线（提示：先作垂线，再作垂线的垂线）。
思考题
8. 只用圆规和直尺，能否作一个 60° 的角？能否作一个 30° 的角？说明你的思路。
参考答案要点
1. 作射线，连续截取两次 a。 2. 用基本作图 2。 3. 作 MN 的垂直平分线，与 MN 的交点即中点。
4. 以 A 为圆心作弧交 BC 于两点，再作这两点连线段的垂直平分线。
6. 作 ∠A 的平分线，与 BC 的交点即为 P（角平分线上的点到角两边距离相等）。
7. 过 P 作 l 的垂线 m，再过 P 作 m 的垂线，即得 l 的平行线。
8. 能。先作一个等边三角形得到 60°，再作 60° 角的平分线得到 30°。
