眉山这道 2025 压轴题，第(2)问“绕点旋转 后落回抛物线”用K型全等（一线三垂直）快速拿下；第(3)问是标准的胡不归问题，再构造等腰直角三角形把 转成垂线段 ，最后用“垂线段最短”收尾。
题源：2025·眉山中考
类型：二次函数 + 待定系数 + K型全等 + 胡不归最值
难度：⭐⭐⭐⭐
总结：第(2)问过 搭水平竖直“十字架”，用K型全等证 ，得 ，代入抛物线解出 或 ；第(3)问是胡不归。
原题：
一、题眼总览
| 对称轴公式 | ||
| K型全等 | ||
| 胡不归 |
答案：(1) ；(2) 或 ；(3) 存在，，最小值为 。
二、第(1)问：求抛物线解析式
🔑 题眼
抛物线 的对称轴为 ，且过 。
💭 思路
对称轴公式 直接给出 ，再把 代入求 。
✅ 计算
抛物线 的对称轴为 ，由题意 ，得 。
把 代入 ：
。
故 。
三、第(2)问：旋转后落回抛物线的点
🔑 题眼
在对称轴 上，线段 绕 逆时针旋转 后点 落在 ，且 在抛物线上。“绕定点转 ”正是K型全等（一线三垂直）的标准信号。
💭 思路
设 ，过 作一条水平线和一条竖直线搭成“十字架”，再从 、 分别向这两条线作垂线。由旋转得 、，可证出一对全等三角形，把 到“十字架”的横、竖距离原封不动“搬”给 ，从而用 表示出 的坐标，代入抛物线解一元二次方程即可。
✅ 计算
设 。过 作水平线 和竖直线 ；过 作 于 ，过 作 于 。
由旋转的性质：，。
射线 水平向左，绕 逆时针转 恰好转到射线 （竖直向下）的方向；同时射线 转到射线 。旋转不改变角的大小，所以 。
又 ，所以 （AAS）。
所以 ，。也就是说： 到水平线 的距离是 ，到竖直线 的距离是 。
从 到 是“向左 + 向上（或向下）”，转过去之后：
向左 变成向下 ： 一定在水平线下方 个单位，； 竖直方向的 变成水平方向： 在 下方（）时 在 右侧 处， 在 上方（）时 在 左侧 处，两种情况横坐标都是 。
故 。 在抛物线上，代入 ：
解得： 或 。
故 或 。
四、第(3)问：胡不归求 的最小值
🔑 题眼
系数不统一： 前面是 ， 前面是 。先提公系数 ，把式子变成 ，然后把 翻译成一条垂线段的长度。
💭 思路
胡不归的标准套路：把系数不同的线段和，通过构造等腰直角三角形把带系数的线段“折”成另一条线段。
具体地，在线段 上任取一点 ，过 作 交于 ，使得 ，则 是等腰直角三角形，于是 。
因此：
当且仅当 、、 三点共线时取等号。
要让 、、 共线，且 、 都是等腰直角三角形，可直接得到 。
✅ 计算
，，。
若 ，则 ，，所以 是等腰直角三角形，。
此时 。构造 使 为等腰直角三角形，且 、、 共线，则 。
于是 。
所以 。
故存在点 ，最小值为 。
往期题目及解析：
免费领｜2026 中考数学压轴题 120 题（含详细解析），覆盖全国 30+ 省市真题
