2025北京高考第14题|立体几何填空复杂3D零件多面体,割补法直接拆解

四季读书网 2026-09-20 10:26:36 7 0

每日一题 · 北京高考立体几何填空精讲

2025北京高考第14题｜立体几何填空

复杂3D零件多面体，割补法直接拆解

做到高考第14题，看到这个由3D打印零件抽象出来的多面体——密密麻麻的线条、一堆平行垂直条件，很多同学直接头皮发麻。

心里会犯嘀咕：这么复杂的几何体，怎么算体积？是不是要建系？还是要找复杂的高？

北京卷立体几何填空很喜欢这种工程背景的多面体——用实物零件包装几何体，看着吓人，但内核就是割补法：把复杂的大几何体拆成熟悉的棱柱、棱锥，分开算体积再相加。

今天我们拆解2025北京高考第14题，讲清拆解思路，还有北京卷爱考的面面垂直推论。

一、真题原题

2025北京高考第14题|立体几何填空复杂3D零件多面体,割补法直接拆解-第1张图片-四季读书网

二、考情分析｜高频踩坑点

本题是北京卷第14题，立体几何填空题，满分5分，属于中档填空。

核心考察能力

① 面面垂直的性质定理，以及高频推论：两个平面都垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面；

② 空间几何体的割补法（拆分复杂多面体为棱柱、棱锥）；

③ 等腰三角形求高，棱柱、棱锥体积公式。

考生最容易踩的4个坑

坑1 · 不敢拆分几何体
看到复杂图形直接放弃，不知道可以利用对称性拆成左右完全相同的两部分。

坑2 · 不会用面面垂直推论
找不到垂直底面的高线，无法计算几何体的高。

坑3 · 等腰三角形高算错
RA = RF = 5/2，AF = 4，勾股定理求高时算错。

坑4 · 体积公式混淆
忘记棱锥体积要乘 1/3，直接当成棱柱计算，白丢分。

💡 考场总思路

1. 先看对称性：几何体左右两部分完全相同，算出一侧体积再 ×2，直接减少一半计算量；

2. 用面面垂直推论：找到垂直底面的高；

3. 割补拆分：把每一侧拆成直棱柱 + 棱锥，分别计算体积再相加。

三、完整解题精讲

预备结论（本题核心工具）

若平面 α ⊥ 平面 γ，平面 β ⊥ 平面 γ，
α ∩ β = l，则 l ⊥ γ。

这个推论可以快速证明线面垂直，是北京立体几何的高频结论。

步骤1 · 分析平面多边形 ABCDEF

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由 AB ⊥ BC，AF ∥ BC，可得 AF ⊥ AB；同理 BC ⊥ CD。

已知 AB = BC = 8，AF = CD = 4，所以直角梯形 ABEF 与直角梯形 CBED 全等。

在直角梯形 ABEF 中，过 B 作 BT ⊥ EF，则四边形 ABTF 为矩形，△BTE 是等腰直角三角形，于是

EF = FT + TE = AB + AF = 12

步骤2 · 计算直棱柱 ARF-BHT 的体积

∵ 平面 RAF ⊥ 平面 ABEF，交线为 AF，AB ⊥ AF，AB ⊂ 平面 ABEF

∴ AB ⊥ 平面 RAF

△RAF 是等腰三角形，RA = RF = 5/2，AF = 4。取 AF 中点 M，则 RM ⊥ AF。由勾股定理：

RM = √(RA² − AM²) = √((5/2)² − 2²) = 3/2

S_△RAF = ½ × AF × RM = ½ × 4 × 3/2 = 3

几何体 ARF-BHT 是直棱柱，棱柱的高等于 AB = 8，所以棱柱体积

V_ARF-BHT = S_△RAF × 8 = 3 × 8 = 24

步骤3 · 计算棱锥 B-HTES 的体积

在 △RAF 中，用面积法求 RF 边上的高 AG：

S_△RAF = ½ · RF · AG = 3

代入 RF = 5/2，解得 AG = 12/5。

棱锥底面是梯形 HTES，上底 2，下底 4，高 5/2，底面积

S = ½ × (2 + 4) × 5/2 = 15/2

棱锥体积（注意那个 1/3）：

V_B-HTES = ⅓ × AG × S = ⅓ × 12/5 × 15/2 = 6

步骤4 · 求总体积

单侧体积：24 + 6 = 30

几何体左右对称，总体积

V = 2 × (24 + 6) = 60

✅ 最终答案

四、北京立体几何填空 · 考场答题技巧

1. 优先看对称性
图形左右/上下对称时，算一半再乘倍数，大幅减少计算量。

2. 复杂几何体认准割补法
高考立体几何体积题几乎都可以拆成棱柱、棱锥，不要硬算。

3. 面面垂直推论速用
两个平面都垂直第三个平面，交线垂直第三个平面，快速找高线。

4. 牢记体积公式差异
棱柱 V = S · h，棱锥 V = ⅓ · S · h，棱锥的 1/3 千万不能丢。

五、给高三同学的备考建议

1. 专门训练割补法
北京卷很喜欢用实物（零件、容器）抽象几何体，平时练习刻意训练拆分，把复杂图形拆成熟悉的棱柱、棱锥模型。

2. 积累面面垂直的推论
除课本的面面垂直性质定理，"两平面同垂直第三个平面，交线垂直该平面"这个推论是高频考点，理解推导，不要死记。

3. 等腰三角形求高是基本功
立体几何里很多高都藏在等腰三角形中，取底边中点 + 勾股定理，这个操作要熟练。

4. 圈画平行垂直条件
读题时把平行、垂直的条件圈出来，这些是推导线面垂直、找高的核心依据。

很多同学看到这种带实物背景的立体几何，直接被复杂图形吓到。
其实这类题的套路很固定：图形看着复杂，本质是基础几何体拼接。学会割补拆分，把大零件拆成小的棱柱、棱锥，难度直接下降。

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