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📌 今日试卷
浙江省名校协作体 2026-2027 学年高二上学期开学考试
第8、11、14题重点解析
三道题分别落在三角恒等变形、函数关系与数列递推上。题目不长，题目都很巧
第8题
在 中，
则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
方法一：恒等变形
由
且
代入已知等式，整理得
在 中，
所以
故
方法二：和差换元
令
由
得
又
所以
即
因为 ，所以 。故选 A。
第11题
已知定义在 上的函数 满足
对任意实数 恒成立，且 ，，则下列结论正确的是
A.
B. 为奇函数
C. 至少有两个零点
D. 对任意正整数 恒成立
【答案】ACD
方法一：先求函数解析式
在原不等式中交换 ，得
该式即为原不等式的反向不等式，所以
令 ，得 。
分别取 ，，，得
消去 ，，得
该式在 时也成立，故对任意 均成立。
于是
A 正确。
又
所以 至少有两个零点，C 正确；而 ，，故 不是奇函数，B 错误。
对任意正整数 ，
所以 D 正确。
方法二：逐项判断
由交换 可知，题设不等式恒取等号。
取 ，，得
故 A 正确。
令 ，得 。再依次取 ，，得
故 B 错误，C 正确。
取 ，得
由 ，，归纳可得
所以
故 D 正确。
第14题
已知函数 满足：当 时，
当 时，
其中 为实常数。若 ，则 ______；若存在直线 与 的图象有无穷多个交点，则 ______。
【答案】3；2
方法一：递推关系
当 时，
又
所以
由递推关系可知，对 ，函数图象每向右平移2个单位，函数值增加 。
直线 每向右平移2个单位，函数值增加2。若两图象有无穷多个交点，则必须有
当 时，任取一个交点，将其横坐标依次增加2，仍可得到交点，故条件满足。
方法二：写出分段通式
对任意 ，可唯一表示为
其中 ，。由递推关系，
若点 在直线 上，则
当 时，右端随 增大而无界，不可能对应同一条直线产生无穷多个交点；当 时，固定 ，任取正整数 均可得到交点。
故 。
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