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今天分享的是2007年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
当 时, 与 等价的无穷小量是 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
基础等价无穷小，选 B。
unsetunset第2题unsetunset
曲线 渐近线的条数为 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
考察分母为 0 的点，以及正负无穷，其中正无穷可以考虑用泰勒，求出来的是一条斜渐进线，选 D。
unsetunset第3题unsetunset
如图, 连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 的上、下半圆周, 在区间 上的图形分别是直径为 的下、上半圆周. 设 , 则下列结论正确的是 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
根据 是奇函数可以知道 是偶函数，剩下就顺水推舟了，选 D。
unsetunset第4题unsetunset
设函数 在 处连续, 下列命题错误的是 ?
(A) 若 存在, 则 .
(B) 若 存在, 则 .
(C) 若 存在, 则 存在.
(D) 若 存在, 则 存在.
基础概念题，D 其实错得很明显。
unsetunset第5题unsetunset
设函数 在 上具有二阶导数, 且 , 令 , 则下列结论正确的是 ?
(A) 若 , 则 必收敛.
(B) 若 , 则 必发散.
(C) 若 , 则 必收敛.
(D) 若 , 则 必发散.
答案选 D。选项 ABC 的反例依次举 ，， 即可。根据条件 得到函数下凸，通过画图很好得到反例。至于 D 选项，考虑拉格朗日中值定理证明，过程如图：
unsetunset第6题unsetunset
设曲线 ( 具有一阶连续偏导数) 过第 象限内的点 和第 象限内的点 , 为 上从点 到点 的一段弧, 则下列积分小于零的是 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
定义题，选 B。
unsetunset第7题unsetunset
设向量组 线性无关, 则下列向量组线性相关的是 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
选 A。A 选项直接相加就是 0，所以线性相关；剩下三个选项用保秩公式即可。
本题充分体现了这种相关无关类型题目的两种思考角度，即定义和秩的角度。
unsetunset第8题unsetunset
设矩阵 , 则 与 ?
(A) 合同, 且相似.
(B) 合同, 但不相似.
(C) 不合同, 但相似.
(D) 既不合同, 也不相似.
选 B。首先注意到 和 都是实对称矩阵，但是迹不相等，因此不相似；但是正负惯性指数都一样，所以合同。
unsetunset第9题unsetunset
某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 p (0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
古典概型，选 C。
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设随机变量 服从二维正态分布, 且 与 不相关, 分别表示 的概率密度, 则在 的条件下, 的条件概率密度 为 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
选 A。条件概率密度，结合二维正态分布满足“不相关 相互独立”即可。
unsetunset第11题unsetunset
?
凑微分，分部积分。
unsetunset第12题unsetunset
设 为二元可微函数, , 则 ?
简单计算题。
unsetunset第13题unsetunset
二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为 ?
基础题。
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设曲面 , 则 ?
题目所给曲面关于各个坐标面都对称（事实上， 是一个正八面体），因此根据对称性可以化简；后续使用轮换对称性代入曲面方程即可。
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设矩阵 , 则 的秩为 ?
直接算就行。当然如果知道这个矩阵是上位移 块可以秒。
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在区间 中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 ?
画图求面积。
unsetunset第17题unsetunset
求函数 在区域 上的最大值和最小值.
先求区域内部的驻点，然后再看两个边界上的最值。
unsetunset第18题unsetunset
计算曲面积分 , 其中 为曲面 的上侧.
补面 高斯公式，其中三重积分使用截面法进行计算最为简洁。
unsetunset第19题unsetunset
设函数 在 上连续, 在 内具有二阶导数且存在相等的最大值, , 证明: 存在 , 使得 .
掉到坑里没？需要注意题目并没有告诉最值是不是在同一个点处取得的，所以需要分类讨论。
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设幂级数 在 内收敛, 其和函数 满足
(1) 证明 ;
(2) 求 的表达式.
江苏省第 26 届高等数学竞赛第六大题出处。
第一问就正常求导找出关系式即可，注意在合并的时候需要统一求和的下标。
第二问，根据第一问的隔项递推公式分奇偶讨论即可求出通项，然后套泰勒级数即可。
unsetunset第21题unsetunset
设线性方程组
与方程
有公共解, 求 的值及所有公共解.
公共解，所以所有方程都满足。于是联立后将增广矩阵化为行阶梯型即可。
unsetunset第22题unsetunset
设 3 阶实对称矩阵 的特征值 , 且 是 的属于 的一个特征向量. 记 , 其中 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 是矩阵 的特征向量, 并求 的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 .
谱分解数一首次登场！
第一问，根据 可以直接得到所有的特征值；特征向量直接根据实对称阵带来的正交性即可得到。
第二问，先来介绍一下谱分解这个方法：
设 阶实对称阵 属于 的单位正交特征向量分别为 ，则：
证明：令 ，则有 ，即：
回到本题，因为 的特征值是 ，而我们利用谱分解求解时最希望特征值出现 0，因此可以先求出 ，之后再加上单位阵就解决了。采用谱分解几乎没有任何计算量，但是需要注意公式使用的特征向量是单位正交的，也就是能用来拼正交矩阵 的。具体过程如下：
unsetunset第23题unsetunset
设二维随机变量 的概率密度为
(1) 求 ;
(2) 求 的概率密度 .
第一问，在哪求概率就在哪求积分。
第二问，仍然是两种方法，分布函数法或者（卷积）公式法，对于本题两种方法计算量差不多，我就只展示公式法的过程了。
unsetunset第24题unsetunset
设总体 的概率密度为
其中参数 未知, 是来自总体 的简单随机样本, 是样本均值.
(1) 求参数 的矩估计量 ;
(2) 判断 是否为 的无偏估计量, 并说明理由.
第一问纯套路。
第二问，验证 是否等于 即可。
以上就是对于2007年数一真题的全部解答，第5题出的很好，对举反例的能力和拉格朗日中值定理的运用都进行了深入考察；第10题是数一首次考察条件概率密度；第20题是非常好的一道幂级数大题；最后通过第22题可以好好掌握一下谱分解的使用方法。综合性比较强的一套真题，值得练习。
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