【真题】2003年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2003年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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 ?

 型套路题。

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曲面  与平面  平行的切平面的方程是?

表示出切平面法向量即可。

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设 ，则  ?

套公式，可表格速算。

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从  的基  到基  的过渡矩阵为 ?

二阶矩阵求逆问题。

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设二维随机变量  的概率密度为

则  ?

在哪求概率就在哪求积分，画出正概区域，求解二重积分即可。

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已知一批零件的长度  (单位: cm) 服从正态分布 ，从中随机地抽取  个零件，得到长度的平均值为  (cm)，则  的置信度为  的置信区间是 ?

数一首次考察置信区间，就算不记得公式直接手推也没问题，推导过程如下：

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设函数  在  内连续，其导函数的图形如图所示，则  有 ?

(A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点.

(C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点.

高中题，注意题目已知  连续即可，选 C。

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设  均为非负数列, 且 , 则必有 ?

(A) $a_n<b_n$ 对任意="" $n$="" 成立.<="" p="">

(B) $b_n<c_n$ 对任意="" $n$="" 成立.<="" p="">

(C) 极限  不存在.

(D) 极限  不存在.

AB 显然错误。对于 C，取反例  即可；D 项使用反证法。

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已知函数  在点  的某个邻域内连续, 且

则 ?

(A) 点  不是  的极值点.

(B) 点  是  的极大值点.

(C) 点  是  的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判别点  是否为  的极值点.

根据极限存在可知分子极限为 0，再结合连续性可知 。二元函数的这种问题使用极限和无穷小的关系往往能得到很好的解决，也就是所谓的“脱帽法”（这一点在 2011 年真题中会再次体现）。选取两条不同的路径即可发现在  附近的值可正可负（别忘了 ），因此不是极值点。

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设向量组  可由向量组  线性表示, 则 ?

(A) 当  时, 向量组  必线性相关.

(B) 当  时, 向量组  必线性相关.

(C) 当  时, 向量组  必线性相关.

(D) 当  时, 向量组  必线性相关.

纯结论题。“多由少表示，则多必相关”，因此选 D。下面证明一下这个结论：

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设有齐次线性方程组  和 , 其中  均为  矩阵, 现有 4 个命题:

(1) 若  的解均是  的解, 则 ;

(2) 若 , 则  的解均是  的解;

(3) 若  与  同解, 则 ;

(4) 若 , 则  与  同解.

以上命题中正确的是 ?

(A) (1)(2).

(B) (1)(3).

(C) (2)(4).

(D) (3)(4).

好题。首先（1）是一个经典结论，根据解空间维度关系列出不等式即可求解。当然还有另一种常见的证明方式，即构造同解方程组，这种做法更有意思一些，过程如下：

剩下几个命题看下图中过程即可：

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设随机变量 , 则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

结论题，证明如下：

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过坐标原点作曲线  的切线, 该切线与曲线  及  轴围成平面图形 .

(1) 求  的面积 ;

(2) 求  绕直线  旋转一周所得旋转体的体积 .

好题，第二问首次考察绕非坐标轴进行旋转的问题，画图可以发现待求体积可化归为一个圆锥减去阴影部分的体积。而阴影部分体积可以通过微元法进行分析，从而列式求解。

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将函数  展开成  的幂级数, 并求级数  的和.

和 1989 年数一第 14 题简直一个模子刻出来的，不再赘述。

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已知平面区域 ,  为  的正向边界. 试证:

(1) ;

(2) .

第一问，根据格林公式分别化简左右两个曲线积分，可以得到是相等的。

第二问，直接在第一问化简的基础上使用均值不等式就结束了。

第二问的不等式太松了，有点浪费了这个好题，考虑将等号右边的  加强为 ，解决方式如下：

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某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打, 都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 ), 汽锤第一次击打将桩打进地下 . 根据设计方案, 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 . 问

(1) 汽锤击打桩 3 次后, 可将桩打进地下多深?

(2) 若击打次数不限, 汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:  表示长度单位米.)

高中物理题，很经典的一个物理模型。

首先求出第一次击打时做的功，然后根据比例关系求出每一次打进地下的深度和上一次的递推关系，从而求出通项。第二问考察的就是一个等比数列求和。

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设函数  在  内具有二阶导数, 且 ,  是  的反函数.

(1) 试将  所满足的微分方程  变换为  满足的微分方程;

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件  的解.

数一首次考察反函数求导：

代入即可将第一问化简为二阶线性非齐次微分方程。

第二问根据套路求解即可。

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设函数  连续且恒大于零,

其中 .

(1) 讨论  在区间  内的单调性.

(2) 证明: 当  时, .

同济版高数课后习题出处。

纯计算题，没有什么技术含量，算！对  的分子和分母分别使用球坐标系和极坐标系进行化简，然后求导判断单调性。

第二问对  化简后作差比大小即可。计算量确实不小。

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设矩阵

求  的特征值与特征向量, 其中  为  的伴随矩阵,  为 3 阶单位矩阵.

常规方法考虑先求出 ，然后慢慢算特征值和特征向量，需要求出 ，计算量比较大。

下面考虑比较本质的做法， 到 ，根据前几年数一多次考察过的结论，我们知道特征值从  变成 ；随后  平移到 ，那么特征值相应变成 ；最后通过相似变换变成 ，特征值不变。相应的，特征向量在前两步都不会改变，在最后一步会从  变成 。具体过程如下：

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已知平面上三条不同直线的方程分别为

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 .

先看必要性，根据三线交于一点可以得出方程组有唯一解，从而得出增广矩阵和系数矩阵秩的关系，推出增广矩阵不满秩，最终化简得到 ，值得注意的是这里的因式分解是比较吃操作的。

再看充分性，根据必要性化简得到的增广矩阵行列式表达式，我们可以立马推出行列式的值为 0，后续说明增广矩阵和系数矩阵秩的关系即可得到方程组唯一解，即三线共点。

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已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品, 乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后, 求:

(1) 乙箱中次品件数  的数学期望;

(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

第一问可以通过超几何分布解决，当然由于我们只需要求期望而不需要分布律，所以可以直接通过示性变量（属于伯努利变量）解决，具体过程如下：

第二问根据全概率公式将待求问题向第一问求的期望靠拢，从而解决。

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设总体  的概率密度为

其中  是未知参数. 从总体  中抽取简单随机样本 , 记 .

(1) 求总体  的分布函数 ;

(2) 求统计量  的分布函数 ;

(3) 如果用  作为  的估计量, 讨论它是否具有无偏性.

前两问都是基础问题：

第三问为数一首次考察无偏估计（2001 年数一最后一题只是用无偏性做更快，但是并没有直接作为题目设问），只需要验证  是否等于  即可。

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