前言

今天我们来看西安电子科技大学数学分析考过的一道级数题，还是很经典的，难度虽然不算大，但是很考验大家的基本功。

想考上西电，这道级数题一定要会哦！

西安电子科技大学数学分析考研真题

题目

设

讨论级数  的条件收敛性与绝对收敛性。

解析

记

则

• 当时，绝对收敛.

当  时，对任意 ，有 ，从而

而  是公比为  的等比级数，收敛。由比较判别法得  收敛，因此  绝对收敛。

• 当时，条件收敛.

当  时，

则

为交错调和级数的常数倍，收敛，但

发散，故该级数条件收敛。

• 当时，条件收敛.

当  时，有 ，从而

并且因为  随  增大单调递减，函数  在  上单调递减，故  单调递增且有界，且有

因此存在常数  使得对一切  有 .

又因  收敛，记其部分和

则  有界。

由  变换可得：若  有界且  单调有界，则  收敛，故  收敛。

下面证明不绝对收敛。注意到当  时，

因为  从而 . 于是  与  具有相同敛散性，而调和级数发散，故  发散，从而原级数不绝对收敛。因此当  时，该级数条件收敛。

综上，

这种题目的难度不算太大，但是讨论的时候一定要注意，不要漏掉任何一种情况。

之前的真题还是很经典的，非常值得大家学习哦！