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今天分享的是2000年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
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?
利用定积分的几何意义。
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曲面 在点 处的法线方程为 ?
隐函数形式的法向量公式。
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微分方程 的通解为 ?
不显含 ，故换元 。后续分离变量即可。
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已知方程组
无解，则 ?
初等行变换化为阶梯型即可。
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设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 ， 发生 不发生的概率与 发生 不发生的概率相等，则 ?
两个事件独立，那么他们的对立事件也都是独立的，根据乘法公式化简即可。
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设 是恒大于零的可导函数，且 ，则当 $a<x<b$ 时，有="" ?<="" p="">
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
高中题，选 A.
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设 ， 为 在第一卦限中的部分，则有 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
通过普通对称性可排除 ABD 三个选项；C 选项考察轮换对称性，不熟练的朋友可以看往期文章：震惊，轮换对称性还能这样用！
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设级数 收敛，则必收敛的级数为 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
根据性质 D 选项一眼正确，下面给出其他三个选项的反例：
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设 维列向量组 线性无关，则 维列向量组 线性无关的充分必要条件为 ?
(A) 向量组 可由向量组 线性表示.
(B) 向量组 可由向量组 线性表示.
(C) 向量组 与向量组 等价.
(D) 矩阵 与矩阵 等价.
矩阵等价 秩相等，因此 D 选项显然正确。
做是做出来了，但是其他三个选项出的还是很好的，很考察基本功。下面依次分析：
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设二维随机变量 服从二维正态分布，则随机变量 与 不相关的充分必要条件为 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
不相关 协方差为 0，化简即可得到方差相等。选 B。
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求
结构，显然需要分 和 两种情况进行讨论，发现极限都是 1.
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设 ，其中 具有二阶连续偏导数， 具有二阶连续导数，求
简单计算题。
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计算曲线积分 ，其中 是以点 为中心， 为半径的圆周 ，取逆时针方向。
挖洞+格林公式。
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设对于半空间 内任意的光滑有向封闭曲面 ，都有
其中函数 在 内具有连续的一阶导数，且 求
根据高斯公式得到一个微分方程，求解即可。
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求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
基础题。
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设有一半径为 的球体， 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 距离的平方成正比（比例常数 ），求球体的重心位置。
数一第一次考察和重心相关考点，套公式即可。
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设函数 在 上连续，且 试证：在 内至少存在两个不同的点 ，使
一类经典问题的母题。
构造变限积分 ，结合分部积分和积分中值定理得到 的三个零点，连续两次使用罗尔定理即可。
另外需要注意积分中值定理的使用条件，本题中 再 上不变号，因此满足条件。
经典的衍生问题为如下这题：
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设矩阵 的伴随矩阵
且 ，其中 为 阶单位矩阵，求矩阵
根据伴随矩阵的行列式性质 求出 ，利用 化简表达式，从而将 表示出来，转化为求逆问题。
本题涉及到的这个矩阵显然分块求逆最方便。对求逆方法掌握不熟练的朋友可以参考往期文章。逆矩阵的所有方法都在这里了！！！夯爆了！
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某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将 熟练工支援其他生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工. 设第 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 和 , 记成向量 .
(1) 求 与 的关系式并写成矩阵形式: ;
(2) 验证 是 的两个线性无关的特征向量, 并求出相应的特征值;
(3) 当 时, 求 .
第一问就是翻译题干，没啥说的。
第二问首先验证二者线性无关，再根据特征值的定义求解特征值即可。
第三问考察矩阵求幂，经典套路就是相似对角化后直接对对角矩阵 次幂即可，过程如下：
当然，我们还可以直接待定系数将 配凑成 的线性组合，然后将矩阵的 次幂转换为特征值的 次幂。
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某流水生产线上每个产品不合格的概率为 , 各产品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 . 求 的数学期望 和方差 .
考察几何分布的期望和方差，利用幂级数即可完成证明。
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设某种元件的使用寿命 的概率密度为
其中 为未知参数. 又设 是 的一组样本观测值, 求参数 的最大似然估计值.
基础题。
以上就是对于2000年数一真题的全部解答，整张试卷的计算量和难度都不大，其中第16题为数一首次考察重心求法；第17题在当年应该算得上难题，现在这种套路已经很常见了；另外第19和第20题的考法非常经典，值得练习。
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