【中考数学】函数图象与性质综合

类型一　抛物线、直线（交点问题）

典例精讲

例 　如图，抛物线y＝x²－4x＋m与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，抛物线的对称轴直线l₁垂直平分线段MN，MN的左端点M的坐标为(0，－1)，过MN的右端点N作l₂∥y轴，分别交抛物线于点C，交双曲线y＝kx(k>0，x>0)于点P，且MN·PN＝12. 

(1)求抛物线的对称轴直线l_{1，并用含有}m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

(1)【思维教练】利用抛物线对称轴公式或者将抛物线解析式转化为顶点式求解．

解：抛物线的对称轴直线l₁的解析式为x＝－－42×1＝2.

把x＝2代入抛物线解析式，得y＝2²－4×2＋m＝4－8＋m＝m－4，

∴抛物线的顶点坐标为(2，m－4)；

(2)求双曲线的解析式；

(2)【思维教练】由点M的坐标以及MN·PN＝12，求得点P的坐标，代入双曲线解析式求解．

∵直线l₁垂直平分线段MN，直线l₁的解析式为x＝2，点M的坐标为(0，－1)，

∴MN＝2×|2－0|＝4，

∴点N的坐标为(4，－1)，直线l₂的解析式为x＝4.

∵MN·PN＝12，∴PN＝3，

∴P(4，3－1)，即P(4，2)．

把P(4，2)代入y＝kx，得k＝4×2＝8，

∴双曲线的解析式为y＝8x(x＞0)；

(3)若点Q(n，m＋12)为抛物线上一点，当AB＝6时，求点Q到直线l₂的距离；

(3)【思维教练】由AB＝6，可求得A，B点的坐标及抛物线解析式，根据抛物线的对称性，点Q应该有两种情况．

∵抛物线与x轴相交于点A、B，对称轴直线l₁的解析式为x＝2，AB＝6，

∴A(－(62－2)，0)，B((62＋2)，0)，即A(－1，0)，B(5，0)．

把A(－1，0)代入y＝x²－4x＋m，得1＋4＋m＝0，解得m＝－5，

∴抛物线解析式为y＝x²－4x－5，m＋12＝－5＋12＝7.

把Q(n，7)代入y＝x²－4x－5，得n²－4n－5＝7，解得n₁＝6，n₂＝－2.

∴Q点的坐标为(6，7)或(－2，7)，

∴点Q到直线l₂的距离为|6－4|＝2或|－2－4|＝6；

(4)若在直线l₁右侧的区域内(包含直线l₁)，抛物线与双曲线交点的纵坐标为y₀(y₀>1)，且抛物线与线段MN没有交点，直接写出m的取值范围．

(4)【思维教练】找到临界点，分顶点在线段MN上和抛物线经过点M，N两种情况讨论，同时应注意抛物线与x轴有两个交点和y₀>1这两个限制条件．

3<m＜4或－31<m<－1.

【解法提示】假设y＝1，则代入y＝8x，得x＝8.∵k＝8>0，∴y随x的增大而减小，当y₀>1时，x₀<8.把(8，1)代入抛物线解析式，得8²－4×8＋m＝1，解得m＝－31.结合抛物线图象可知，抛物线向上平移才能符合题意，∴当y₀>1时，m>－31.抛物线与线段MN没有交点时，有以下两种情况：①如解图①，抛物线顶点(2，m－4)在线段MN上时，可得m－4＝－1，解得m＝3，∵抛物线与x轴有两个交点，∴令x²－4x＋m＝0.可得b²－4ac＝16－4m＞0，解得m＜4.∴3＜m＜4.

例题解图①

②如解图②，当抛物线经过点M，N时，可得m＝－1，结合m>－31，得－31<m<－1.综上可得，m的取值范围为3<m＜4或－31<m<－1.

例题解图②

对接中考

1.(2018河北24题10分)如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝－12x＋5的图象l₁分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l₂与l₁交于点C(m，4)．

(1)求m的值及l₂的解析式；

(2)求S_△AOC－S_△BOC的值；

(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l_3，且l_1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．

第1题图

（1）∵点C(m，4)在一次函数y＝－12x＋5的图象上，

∴将点C(m，4)代入y＝－12x＋5中，得－12m＋5＝4，解得m＝2.(1分)

即点C的坐标为(2，4)．

设l₂的解析式为y＝k₁x，将点C(2，4)代入得2k₁＝4，解得k₁＝2，

∴l₂的解析式为y＝2x；(3分)

(2)对于一次函数y＝－12x＋5，

令x＝0得y＝5，令y＝0得x＝10，

∴点B的坐标为(0，5)，点A的坐标为(10，0)．(5分)

∴S_△AOC－S_△BOC＝12OA·y_C－12OB·x_C＝12×10×4－12×5×2＝15；(7分)

(3)k的值为－12或2或32.(10分)

【解法提示】∵l_1，l2，l3不能围成三角形，∴l₃∥l₁或l₃∥l₂或l₃过点C，当l₃∥l₁时，则k＝－12；当l₃∥l₂时，则k＝2；当l₃过点C时，则k＝32.综上所述，k＝－12或2或32.

2.(2015河北25题11分)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)²＋1(h为常数)与y轴的交点为C.

(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；

(2)设点C的纵坐标为y_C，求y_C的最大值，此时l上有两点(x_1，y1)，(x_2，y2)，其中x₁>x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；

(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．

第2题图

(1)把B(2，1)代入y＝－(x－h)²＋1，得－(2－h)²＋1＝1，解得h＝2.(2分)

则抛物线的解析式是y＝－(x－2)²＋1，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，1)；(4分)

(2)在y＝－(x－h)²＋1中令x＝0，解得y＝－h²＋1，即y_C＝－h²＋1，

∵－h²＋1≤1，则y_C的最大值是1.(5分)

此时点C的坐标是(0，1)，把C(0，1)代入y＝－(x－h)²＋1，得－h²＋1＝1，解得h＝0，

则抛物线的解析式是y＝－x²＋1，∵抛物线的对称轴是y轴，开口向下，

∴当x₁＞x₂≥0时，y₁＜y₂；(7分)

(3)当线段OA被分成1∶4两部分时，则分点是(－1，0)或(－4，0)．

①当l经过点(－1，0)时，代入抛物线解析式得，－(－1－h)²＋1＝0，

解得h＝0或－2.(8分)

当h＝0时，抛物线的对称轴是y轴，与x轴的交点是(－1，0)和(1，0)，满足条件；

当h＝－2时，抛物线的对称轴是x＝－2，与x轴的交点是(－1，0)和(－3，0)，会将线段OA分成三部分，不满足条件；(9分)

②当l经过点(－4，0)时，代入抛物线解析式，得－(－4－h)²＋1＝0，解得h＝－3或－5.

当h＝－3时，抛物线的对称轴是x＝－3，与x轴的交点是(－4，0)和(－2，0)，不满足条件，会将线段分成三部分；(10分)

当h＝－5时，抛物线的对称轴是x＝－5，与x轴的交点是(－4，0)和(－6，0)，满足条件．

综上所述，h的值是0或－5.(11分)

3.(2016河北26题12分)如图，抛物线L：y＝－12(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝kx(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.

(1)求k值；

(2)当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图象G最高点的坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x_{0，且满足4}≤x₀≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．

第3题图

(1)设点P(x，y)，则MP＝y，

由OA的中点为M知OA＝2x，代入OA·MP＝12，得2x·y＝12，即xy＝6，

∵点P在双曲线y＝kx(k＞0，x＞0)上，

∴k＝xy＝6；(3分)

(2)当t＝1时，令y＝0，则0＝－12(x－1)(x＋3)，解得x₁＝1，x₂＝－3，

∵点B在点A左边，

∴B(－3，0)，A(1，0)，

∴AB＝4.(5分)

∴L的对称轴为直线x＝－1，

∵M点的坐标为(12，0)，

∴MP与L对称轴的距离为32；(6分)

(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，

∴L的对称轴为直线x＝t－2.(7分)

又∵点M的横坐标为t2，

∴当t－2≤t2，即t≤4时，顶点(t－2，2)就是G的最高点；

当t－2>t2，即t＞4时，L与MP的交点(t2，－18t²＋t)就是G的最高点；(10分)

(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋2.(12分)

【解法提示】对于双曲线y＝6x，当4≤x₀≤6时，1≤y₀≤32，即L与双曲线在C(4，32)，D(6，1)之间的一段有个交点．

①由32＝－12(4－t)(4－t＋4)，得t₁＝5，t₂＝7；

②由1＝－12(6－t)(6－t＋4)，得t₃＝8－2，t₄＝8＋2.

随着t的逐渐增大，L位置随着点A(t，0)向右平移，如解图所示，

当t＝5时，L右侧过点C；

当t＝8－2＜7时，L右侧过点D，即5≤t≤8－2；

当8－2＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到点C，即L与该段无交点，舍去；

当t＝7时，L左侧过点C；

当t＝8＋2时，L左侧过点D，即7≤t≤8＋2.

综上所述，t的取值范围为5≤t≤8－2或7≤t≤8＋2.

第3题解图

4.(2020河北24题10分)表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx＋b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′.

(1)求直线l的解析式；

(2)请在图上画出直线l′(不要求列表计算)，并求直线l′被直线l和y轴所截线段的长；

(3)设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

第4题图

(1)∵(－1，－2)，(0，1)在函数y＝kx＋b的图象上，

代入得－2＝－k＋b1＝b)，解得k＝3b＝1)，

∴直线l的解析式为y＝3x＋1；

(2)依题意得l′的解析式为y＝x＋3，

∴l′的图象如解图所示．

第4题解图

联立方程组y＝3x＋1y＝x＋3)，

解得x＝1y＝4)，

∴l与l′的交点为(1，4)．

又∵l′与y轴的交点为(0，3)，

∴l′被直线l和y轴所截得的线段长为（1－0）2＋（4－3）2＝2； 

(3)a的值为52或175或7.

【解法提示】直线y＝a与直线l，l′及y轴的交点为(a－13，a)，(a－3，a)及(0，a)．①若a＞1时，当(a－13，a)，(a－3，a)关于(0，a)对称时，a－13＝－(a－3)，解得a＝52；当(a－13，a)，(0，a)关于(a－3，a)对称时，2(a－3)＝a－13，解得a＝175；当(a－3，a)，(0，a)关于(a－13，a)对称时，(a－3)＝2×a－13，解得a＝7；②若a＜1时，则有(a－3)＝2×a－13，解得a＝7，不合题意舍去．综上所述，a的值为52或175或7.

类型二　整点问题

典例精讲

例 　在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，把横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．反比例函数y＝4x(x＞0)的图象过点B，点D为抛物线y＝－(x－a)²＋2a＋1的顶点．

(1)若抛物线过点B，求抛物线的解析式；

(1)【思维教练】根据点B在反比例函数图象上及OA＝OC求出点B的坐标，将其代入抛物线解析式，利用待定系数法求解．

∵四边形OABC为正方形，

∴OA＝OC.

设点B的坐标为(x，x)，代入y＝4x(x＞0)可得x＝4x，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)，

∴点B的坐标为(2，2)．

把点B(2，2)代入y＝－(x－a)²＋2a＋1，可得2＝－(2－a)²＋2a＋1，解得a＝1或a＝5.

∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)²＋3或y＝－(x－5)²＋11；

(2)设抛物线与y轴的交点E的纵坐标为y_E，求y_E的最大值，并求出此时抛物线的对称轴；

(2)【思维教练】由在y轴上点的横坐标为0可用含a的代数式表示出点E的纵坐标，根据抛物线的增减性求出最值及对称轴．

∵点E在y轴上，

∴点E的横坐标为0，则y_E＝－a²＋2a＋1＝－(a－1)²＋2，

∵－1＜0，

∴当a＝1时，y_E有最大值2，

此时抛物线解析式为y＝－(x－1)²＋3，

则抛物线对称轴为直线x＝1；

(3)若点D在正方形OABC的内部，当抛物线与x轴围成的区域(包括边界)恰好存在4个“整点”，求a的取值范围．

(3)【思维教练】根据抛物线解析式用含a的代数式表示出点D的坐标，根据点D在正方形内部，求得a的一个临界值，再找出区域内整点恰好为4个时抛物线经过的点，代入即可求得a的另外一个临界值．

例题图

如解图，∵抛物线的顶点D的坐标为(a，2a＋1)，

∴抛物线的顶点D在直线y＝2x＋1上运动，

∵点D在正方形内部，则0＜a＜12，

例题解图

当a＝12时，抛物线为y＝－(x－12)²＋2，令－(x－12)²＋2＝0，解得x＝12＋2或x＝12－2.

∵x＝12＋2＜2，

∴此时抛物线与x轴围成区域(包括边界)有4个“整点”；

如解图，观察图象可知，当点D在正方形OABC内部，抛物线过点F(1，1)时，抛物线与x轴围成区域(包括边界)恰好存在4个整点．

当抛物线经过点F(1，1)时，可得1＝－(1－a)²＋2a＋1，

解得a＝2＋3或a＝2－3，

∵当a＝2＋3时，抛物线顶点不在正方形内，故舍去，

∴点a的取值范围为2－3≤a＜12.

对接中考

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y₁＝kx(k为常数，且k≠0)的图象经过点M(－4，－1)，直线l：y₂＝k₁x＋b(k_1，b为常数，且k₁≠0)与反比例函数y₁＝kx的图象相交于点M、N.

(1)求k的值；

(2)当b＝15时，求S_△MON；

(3)若一个点的横、纵坐标都是整数且绝对值相等，则称这个点为“整点”，若直线l：y₂＝k₁x＋b与坐标轴围成的图形内(不包含边界)有2个“整点”，结合函数图象，求b的取值范围．

第1题图

(1)将M(－4，－1)代入y₁＝kx中，得k＝－4×(－1)＝4；

(2)如解图，连接OM，ON，设MN交x轴于点P，

∵y₂＝k₁x＋b过M(－4，－1)，b＝15，

∴－1＝k₁×(－4)＋15，得k₁＝4.

∴直线l的解析式为y₂＝4x＋15.

∴直线l与x轴的交点P(－154，0)．

∴OP＝154.

∵直线l与反比例函数y₁＝4x交于M，N两点，

联立可得y1＝\f(4xy2＝4x＋15，

解得x＝\f(14y＝16，或x＝－4，y＝－1.)

∴N(14，16)．

∴S_△MON＝S_△OPN＋S_△OMP＝12OP×16＋12OP×1＝12×154×16＋12×154×1＝2558；

第1题解图

(3)∵直线l：y₂＝k₁x＋b恒过(－4，－1)，与坐标轴围成的区域内有两个“整点”，

∴有两种情况．

①当k₁>0时，这两个点必是(－1，1)与(－2，2)，将(－2，2)，(－4，－1)代入直线l的解析式中得－1＝k1×（－4）＋b2＝k1×（－2）＋b)，解得b＝5.

将(－3，3)，(－4，－1)代入直线l的解析式中得－1＝k1×（－4）＋b3＝k1×（－3）＋b)，解得b＝15，

∴5<b<15；

②当k₁<0时，这两个点必是(－1，－1)，(－2，－2)，将(－4，－1)，(－2，－2)代入直线l的解析式中得－1＝k1×（－4）＋b－2＝k1×（－2）＋b)，解得b＝－3，

将(－4，－1)，(－3，－3)代入直线l的解析式中得－1＝k1×（－4）＋b－3＝k1×（－3）＋b)，解得b＝－9，

∴－9<b<－3.

综上所述，5<b<15或－9<b<－3.

2.(2019河北26题12分)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x²＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.

(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x₀≠0，点(x_0，y1)，(x_0，y2)，(x_0，y3)分别在l，a和L上，且y₃是y_1，y2的平均数，求点(x₀，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

第2题图

(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，

∴B(0，－b)，

∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.

∴b＝4；(2分)

∴L的解析式为y＝－x²＋4x，

∴L的对称轴为x＝2，

将x＝2代入直线a的解析式中得y＝2－4＝－2，

∴L的对称轴与a的交点坐标为(2，－2)；(4分)

(2)∵y＝－x²＋bx＝－(x－b2)²＋b24，

∴L的顶点C的坐标为(b2，b24)．

∵点C在l下方，

∴点C与l的距离为b－b24＝－14(b－2)²＋1≤1，

∴点C与l距离的最大值为1；(7分)

(3)由题意可得，y₁＝b，y₂＝x₀－b，y₃＝－x20＋bx_0，

∵y₃是y_1，y2的平均数，

∴y₃＝y1＋y22，即－x20＋bx₀＝x02，

化简得x₀(2x₀－2b＋1)＝0，

解得x₀＝0或x₀＝b－12，

∵x₀≠0，

∴x₀＝b－12，

对于L，当y＝0时，0＝－x²＋bx，即0＝－x(x－b)．解得x₁＝0，x₂＝b，

∵b＞0，

∴D点坐标为(b，0)，

∴点(x₀，0)与点D间的距离为b－(b－12)＝12；(10分)

(4)4040；1010.(12分)

【解法提示】当b＝2019时，直线a的解析式为y＝x－2019，抛物线L的解析式为y＝－x²＋2019x，联立可得y＝x－2019y＝－x2＋2019x)，解得x＝－1y＝－2020)，或x＝2019y＝0).∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)．∴当x取－1～2019中的任何整数时，对应的y值也都是整数，所以在L和a所围成的封闭图形的边界(抛物线＋线段)上，各有2021个“美点”，再减去交点重复的两个点，共有美点的个数为2021＋2019＝4040个；当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，抛物线L的解析式为y＝－x²＋2019.5x，联立可得y＝x－2019.5y＝－x2＋2019.5x)，

解得x＝－1y＝－2020.5)，或x＝2019.5y＝0).∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，∴当x取－1～2019.5中的任何整数时，在y＝x－2019.5中，y的值都不为整数，∴封闭图形的线段a上没有“美点”．在y＝－x²＋2019.5x中，只有当x取个位上是0、2、4、6、8的整数时，y的值才是整数．∴－1～2019.5中符合条件的x共有1010个数．综上所述，当b＝2019时，“美点”的个数为4040个；当b＝2019.5时，“美点”的个数为1010个。