2026年天津中考数学24题，题目不难，但要考虑的情况较多，容易遗漏，文末有动图演示。
(1)小问，方法：三角函数值、轴对称性质
思路：∠AOC=120°，由对称性质可知∠AOB=60°，已知∠OAB=90°，AO=6，可求出A点、B点坐标，由坐标轴对称可求出C点坐标
∵OA=6, ∠OAB=90°,∠AOC=120°
∴由对称性可得∠AOB= ∠COB=∠AOC/2=60°，AC⊥OB,
∴∠ABO=∠CBO=30°，
∴OB=2AO=12,OQ=AO·cos∠AOB=3，AQ = √3OQ=3√3
∴B(12,0)、A(3, 3√3),
由对称性可得C(3，-3√3)
∴B(12,0)，C(3, -3√3);
(2)①小问，方法：三角函数值、轴对称性质
思路：由(1)小问知OQ=3，∠ADS=30°可以求出AD，由对称性质求出A'D，△DA'F是Rt△且∠A'FD=30°，可得DF=2A'D
作DS⊥AC于点S
∵折叠后重叠部分为五边形
∴t>3，QP=OP-OQ=t-3,
∴DS=QP,∠ADS=30°
∴AD=DS/cos30°=2√3(t-3)/3
∴由对称性质A'D=AD
∵∠A'O'O=60°,∠ABO=30°, ∠A'=90°
∴∠A'FD=∠BFO'=30°
∴DF=2A'D=4√3(t-3)/3=4√3t/3-4√3
∵当O与B重合时，重叠部分不构成五边形，此时t=6
∴t的取值范围为3<t<6
(2)②小问，方法：三角函数值、轴对称性质、二次函数性质
思路：根据t的不同取值范围分段考虑
情况1、当2≤t≤3时，重叠部分为△DO'E，此时S=S△DO'E
易知DE=2DP=2√3OP=2√3t，O'P=OP=t
∴S△DO'E=DE·O'P/2=2√3t·t/2=√3t²
∴当2≤t≤3时，4√3≤S≤9√3
情况2、当3<t≤6时，连接FG交x轴于点R，则FG⊥OB
此时，BP=12-t，DP=√3BP/3=√3(12-t)/3
∵PR=DF·cos30°(DF(1)小问已求出)
∴PR=4√3(t-3)/3×√3/2=2(t-3)
∵PO'=PO=t，FR=√3O'R=√3(PO'-PR)
∴FR=√3(6-t)
∴S=2(S△DPF+S△PFO')=DP·PR+PO'·FR=√3(12-t)/3×2(t-3)+t×√3(6-t)
化简得：S=-5√3t²/3+16√3t-24√3，即-5√3/3(t-24/5)²+72√3/5
由二次函数性质知：当3<t≤6时，t=24/5时，S zui大为72√3/5，t=3时，S zui小为9√3
∴当3<t≤6时，9√3<S≤72√3/5
情况3、当6<t≤8时，重叠部分S=S△BDE
∵DE=2DP
∴BP=12-t，DE=2√3(12-t)/3
∴S=DE·BP/2=√3(12-t)²/3
由二次函数性质知：当6<t≤8时，t=6时，S zui大为12√3，t=8时，S zui小为16√3/3
∴当6<t≤8时，16√3/3≤S<12√3
∴当2≤t≤8时，4√3≤S<72√3/5
