1 一、选择题
（1）
若
则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： B
知识点：
- 幂指函数极限与取对数法
- 泰勒公式（或等价无穷小）
- 极限存在时低阶项系数的确定
解析：
由泰勒公式，
因此，
原极限存在且等于 ，底数在 附近为正，可以取对数。若 ，则
其双侧极限不存在，故必须有
即
此时
从而
所以原极限为
由题意，
故
因此选 B。
（2）
下列函数中，在 处不可导的是
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： D
知识点：
- 导数的定义
- 含绝对值函数在分界点处的可导性
- 基本等价无穷小
解析：
由导数定义，
对于 A，
对于 B，
对于 C，由 ，可知其在 处可导，且导数为 。
对于 D，
当 时，上式趋于 ；当 时，上式趋于 。左右极限不相等，故在 处不可导。
因此选 D。
（3）
设
若 在 上连续，则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： D
知识点：
- 分段函数的连续性
- 左、右极限与函数值
- 参数的确定
解析：
由题意，
在 处连续，应有
故
在 处连续，应有
故
因此选 D。
（4）
设函数 在 上二阶可导，且
则
（A）当 时，
（B）当 时，
（C）当 时，
（D）当 时，
答案： D
知识点：
- 函数的凹凸性
- 严格凸函数的切线性质
- 定积分与函数值大小的比较
解析：
先排除 A、B、C。
对于 A，取
则 ，且
所以 A 不成立。
对于 C，取
同样有积分为 ，但
所以 C 不成立。
对于 B，取
则
但
所以 B 不成立。
若 ，则 在 上为严格凸函数。严格凸函数的图像在任一点的切线之上，因此当 时，
在 上积分，得
又
故
因此选 D。
（5）
设
则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： C
知识点：
- 定积分的对称性
- 奇函数在对称区间上的积分
- 基本不等式
解析：
首先，
其中 为奇函数，所以
由基本不等式
且等号仅在 时成立，可得
并且除 外严格小于 ，因此
在区间 上，，且在区间内部有 ，故
所以
因此选 C。
（6）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： C
知识点：
- 二重积分的几何意义
- 积分区域的对称性
- 奇函数在对称区域上的积分
解析：
两部分积分的积分区域可合并为
区域 关于 轴对称，而 关于 为奇函数，因此
于是原式等于区域 的面积：
因此选 C。
（7）
下列矩阵中，与矩阵
相似的是
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： A
知识点：
- 矩阵相似的定义
- 相似不变量
- 初等相似变换与可逆矩阵的构造
解析：
记题干中的矩阵为
取
直接计算得
即选项 A 中的矩阵，所以 A 与 相似。
此外，
而 B、C、D 三个选项中的矩阵 均满足
由于相似变换保持矩阵的秩，故 B、C、D 均不与 相似。
因此选 A。
（8）
设 为 阶矩阵，记 为矩阵 的秩， 表示分块矩阵，则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： A
知识点：
- 矩阵的秩
- 分块矩阵的列空间
- 矩阵乘积的列向量线性组合关系
解析：
矩阵 的每一列都是矩阵 的列向量的线性组合，因此
其中 表示矩阵 的列空间。
分块矩阵 的前 列就是 的列，后 列又都属于 的列空间，所以
从而
因此 A 正确。
其余各项并非恒成立。例如，取
则
故 B 错误。
对于 C，取
则
故 C 错误。
对于 D，取
此时
而
故 D 错误。
因此选 A。
2 二、填空题
（9）
答案：
知识点：
- 拉格朗日中值定理
- 无穷远处的极限
- 夹逼准则
解析：
由拉格朗日中值定理，存在 ，使得
因此
由于
所以当 时，
从而
故
（10）
曲线
在其拐点处的切线方程是
答案：
知识点：
- 拐点的判定
- 导数的几何意义
- 曲线的切线方程
解析：
函数的定义域为 。有
令
得
当 时，；当 时，，所以 对应的点是拐点。
拐点坐标为
又
故切线方程为
即
（11）
答案：
知识点：
- 无穷区间上的反常积分
- 有理函数的部分分式分解
- 极限运算
解析：
先作部分分式分解：
于是
（12）
曲线
在 对应点处的曲率为
答案：
知识点：
- 参数方程所表示曲线的导数
- 参数曲线的曲率公式
- 三角函数的基本运算
解析：
参数曲线的曲率公式为
其中各导数均对参数 求导。
由
得
以及
当 时，
因此
（13）
设函数 由方程
确定，则
答案：
知识点：
- 隐函数存在定理
- 隐函数的偏导数
- 复合函数求导
解析：
当
时，方程右端为 。令
由于 ，且
故 严格单调递增。又 ，因此对应的 唯一且为
令
则
由隐函数求导公式，
代入
得
（14）
设 为 阶矩阵， 为线性无关的向量组。若
则
答案：
知识点：
- 线性变换在一组基下的矩阵
- 相似矩阵与行列式
- 线性无关向量组构成基
解析：
令
由于 线性无关，故 可逆。
由题意，各向量在这组基下的坐标分别为
因此
即 与矩阵
相似，所以
计算得
3 三、解答题
（15）
求不定积分
知识点：
- 分部积分法
- 换元积分法
- 复合函数求导
解析：
设
采用分部积分，取
则
又
故
因此
令
则
所以
代回 ，得
（16）
已知连续函数 满足
（1）求 ；
（2）若 在区间 上的平均值为 ，求 的值。
知识点：
- 变上限积分函数及其求导
- 积分方程化为微分方程
- 一阶线性微分方程
- 函数在区间上的平均值
解析：
记
对第二个积分作换元 ，有
因此原方程化为
由于 连续，两边对 求导，得
即
又 ，所以
乘以积分因子 ，得
积分并利用 ，可得
因此
函数在 上的平均值为 ，故
于是
而
所以
故
（17）
设平面区域 由曲线
与 轴围成，计算二重积分
知识点：
- 二重积分化为累次积分
- 参数方程换元
- 三角函数积分与对称性
解析：
在 上，
故曲线可看作 ，且 从 变化到 。
于是
代入
得
令
由于 ，有
而
故
此外，
并且
所以
（18）
已知常数 。证明：
知识点：
- 利用导数研究函数单调性
- 最值与不等式证明
- 含参数不等式
解析：
令
只需证明 与 同号。
有
再令
则
当 时，，所以 在 上单调递减，从而
由
得
因此在 上，
又 ，所以当 时，
此时 ，故
当 时， 在 上为负，在 上为正，所以 在 处取得最小值。由题设，
因此在 上，
结合 ，得
此时 ，故
当 时，原式等于 。
综上，
（19）
将长为 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。问：三个图形的面积和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
知识点：
- 条件极值
- 柯西不等式
- 几何图形面积公式
解析：
设圆、正方形、正三角形所用铁丝的长度分别为 ，则
三个图形的面积和为
注意到
由柯西不等式，
所以
等号成立的条件为
即
该比例对应的三段长度均为正，且长度之和可取为 ，所以等号可以达到。
因此面积和存在最小值，且
（20）
已知曲线
点 ，点 。设 是 上的动点， 是直线 与直线 及曲线 所围成图形的面积。若 运动到点 时沿 轴正向的速度是 ，求此时 关于时间 的变化率。
知识点：
- 相关变化率
- 定积分表示平面图形面积
- 复合函数的链式法则
解析：
设动点
直线 与两条竖线 、 之间所围成的梯形面积为
曲线 与 轴之间的面积为
故题中所围图形的面积为
对时间 求导，得
当 时，
因此
故此时
（21）
设数列 满足：
证明 收敛，并求
知识点：
- 单调有界数列必收敛
- 拉格朗日中值定理
- 递推数列极限的求法
解析：
由递推关系，
先证 。当 时，由
可得
从而
由于 ，由数学归纳法可知
对函数 在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在
使得
因此
于是
所以数列 单调递减且有下界 ，故必收敛。
设
在递推关系中令 ，得
即
令
则
且当 时 。又
故方程 在 上只有解 。
因此
（22）
设实二次型
其中 是参数。
（1）求 的解；
（2）求 的规范形。
知识点：
- 二次型及其矩阵
- 齐次线性方程组
- 二次型的秩、惯性指数与规范形
- 可逆线性变换
解析：
记
则
（1）求 的解
由于 是三个实数平方之和，所以
等价于
即
其系数矩阵为
且
当 时， 可逆，所以方程组只有零解：
当 时，由
令 ，得
（2）求二次型的规范形
当 时，线性变换
的系数行列式为 ，故该变换可逆。于是
当 时，有
令
该线性变换可逆，且
再令
则所得变换仍可逆，并且
（23）
已知 是常数，且矩阵
可经初等列变换化为矩阵
（1）求 ；
（2）求满足 的可逆矩阵 。
知识点：
- 初等列变换与矩阵右乘
- 矩阵秩与行列式
- 矩阵方程的求解
- 可逆矩阵的判定
解析：
初等列变换相当于在矩阵右侧乘以可逆矩阵，因此初等列变换不改变矩阵的秩。由题意，
（1）求
注意到 的第三行满足
而前两行线性无关，所以对任意 都有
计算 的行列式：
要使
必须有
故
当 时， 的前两行线性无关，所以其秩确为 。
（2）求可逆矩阵
当 时，逐列求解
矩阵 的齐次方程组的基础解系可取为
分别求 的三列所对应的特解，可取
因此矩阵方程的通解为
其中 。
计算得
所以只要
矩阵 就可逆。
例如，取
可得
此时
并且直接计算可验证
