前言

今天我们来看一道清华大学夏令营考的经典题目，第一问普普通通，第二问也是普普通通，简单来说，这道题目我觉得大家应该都能拿下哦！

想上清华的话，那就试试今天的这道题目吧！做完之后，就会发现自己也能上清华了哈！

清华大学夏令营真题

题目

已知函数 .
 求函数  在  上的最小值。
 若存在 ，使不等式

成立，求实数  的取值范围。

解析

 对  求导，得

当  时，，故 ，所以  在  上单调递增。

因此最小值为

 由题设，存在  使得

将  代入，得

因为 ，两边同除以 ，得

移项可得

令

则原问题等价于存在  使 ，即

下面求  在  上的最大值。求导得

在区间  上，，，故：

当  时，，， 单调递减；

当  时，，， 单调递增．

因此  在  处取得极小值，最大值只能在区间端点处取得．计算端点值，有

比较两者大小，可得

因为 ，所以 ；又 ，故 ，即 ．从而 ，得

所以最大值为

故实数  满足

即  的取值范围为

夏天就要做清华的夏令营真题来解解暑哦！

极其简单的两问，应该没有难倒聪明的你们吧！