真题变式
2026北京市中考数学第27题及变式题
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<60°)，过AC的中点D作AC的垂线l，交AB于点E，点M在DE的延长线上，∠ABM=30°.
(1)如图1，α=30°，求证：AB=2DM；
(2)如图2，点N在ED的延长线上，∠ABN=30°，连接AM，AN，直接写出∠MAN的大小，并证明。
1、[探究感悟]
(1)如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC。
[迁移应用]
(2)如图2，若△ABD是等边三角形，AB=AM，AC平分∠DAM ，∠BAM<60°；
①求∠C的度数；
②试判断AN、BC、BM之间的数量关系，并证明。
2、如图，已知∠MAN=120°，AC是∠MAN的平分线，点B、D分别在射线AN、AM上.
(1)【初步尝试]如图①，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC；
(2)【深入探究]如图②，当AD+AB=AC时，求证：∠ABC+∠ADC=180°；
(3)【综合应用]如图③，当∠ABC=90°时，点P是BA延长线上的一点,连接PC，若PC=CD，请直接写出三条线段AD、AP、AB的数量关系.
3、已知：等腰△ABC，AB=AC，点D为AB边上一点.
(1)如图1，当∠B=60°时，过点D作DE∥BC交AC于点E，求证：△ADE是等边三角形；
(2)如图2，F为CB延长线上一点，连接DF、DC，当DF=DC时，过点D作DG∥AC交BC于点G，求证：CG=BF；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长AB至点H，连接HF、HC，使HF=HD，且∠HCD=30°，当∠HFC=34°时，求∠ACD的度数。
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文章来源：
四季读书网
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