中考大题每日压轴题精讲题型角平分线模型

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已知为的外心、为弧的中点，连接，点在线段上，且，

(1)如图1，若．

①求证：平分；

②求的值；

(2)如图2，连接，的外角平分线交于点，若，求证．

【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析

【分析】

(1)①由圆周角定理得到∠CBD=∠BAD，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠CBE=∠ABE，从而得证；

②连接CD，CE，过点E作EG∥CD交AC于G，根据角平分线的性质定理得到从而得到，然后根据根据，得到，通过证明△EFC≌△EGC，得到CF=CG，利用平行线分线段成比例定理得到，即可求解.

(2)连接OB，OF，OD，OC，AF，FD，则OF=OB=OD=OC，利用∠BAC=60°，可以证明三角形OBD为等边三角形，于是得到DE=OD=OB=OF，再证明△OFB≌DOE即可得到答案.

【解析】

解：(1)①∵D为弧BC的中点，

∴，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠CBD=∠CAD，

∴∠CBD=∠BAD，

∵DB=DE，

∴∠DBE=∠DEB，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠BED=∠BAD+∠ABE，

∴∠CBE=∠ABE，

∴BE平分∠ABC；

②连接CD，CE，过点E作EG∥CD交AC于G，

∵∠BAD=∠CAD，

∴(角平分线性质定理)，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，

∴E为△ABC的内心，

∴CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵EG∥DC，

∴∠AEG=∠ADC，

∵，

∴∠BCD=∠CAD，

∵∠EFC=∠EDC+∠BCD，∠EGC=∠CAD+∠AEG，

∴∠EFC=∠EGC，

在△EFC和△EGC中

∴△EFC≌△EGC(AAS)，

∴CF=CG，

∵EG∥DC，

∴

∴，

∴；

(3)连接OB，OF，OD，OC，AF，FD，则OF=OB=OD=OC，

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=120°，

∵D为弧BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD=30°，∠BOD=∠COD=60°，

∴△OBD是等边三角形，

∴OB=OD，∠ODB=60°，

∵DB=DE，

∴DE=OD=OD=OF，

∵∠GBA    =∠BAC+∠ACB，BF平分∠GBA，

∴=30°+，

∵∠FBG为圆内接四边形FBCA的外角，

∴∠GBF=∠FAC=∠CAD+∠FAD=30°+∠FAD，

∴∠FAD=，

∵∠FAD=

∴∠FOD=∠ACB，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠FOD，

∵∠ADB=∠ODB+∠ODE=60°+∠ODE，∠FOD=∠BOD+∠FOB=60°+∠FOB，

∴∠FOB=∠ODE，

在△OFB和△DOE中

∴△OFB≌DOE(SAS)，

∴BF=OE.

【点睛】

本题主要考查了圆的综合题，等比性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.