2026年厦门大学数学夏令营真题解答
以下为2026年厦门大学数学夏令营完整试题及解答，有不同解法欢迎在评论区交流。
PS：本次主包没参加，刚写的。由于主包抽代没复习，因此抽代的题目就不写了。T^T
完整试题
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数学分析
设函数 在 上可导，且
证明：对于任意正数 ，存在两个不同的点 ，使得
解答
由在上可导，则在上连续。
由，对，
由介值性定理，，s.t. 。
由拉格朗日中值定理知，s.t.
即
，s.t.
即
则
即
设 ，判断级数
的敛散性。
解答
记。
利用Stolz定理有
则
考虑的敛散性。，有，
而发散，则发散。 故发散
设 ，且
判断是否必有
若结论不成立，请举出反例。
解答
记。 依题意有。
，，有。 则，有。 则当时有，
则，即。 由，
由
故
判断下述命题是否成立，并说明理由：若 在 上可导且有界，并且
则存在常数 ，使得对任意 ，均有
解答
设
下证
由于 在 处可导，故
从而
取
则 。由上述极限，存在 ，使得当 时，
因为 在 上有界，所以存在常数 ，使得
于是
取
当 时，有
考虑
函数 在 上连续，因而由最值定理， 在 上可以取得最大值。记
另一方面，对每个 ，由拉格朗日中值定理均有
特别地，在使 取得最大值的点 处，也有
现在令
由于 且 ，故
对于任意 ：当 时结论显然成立；当 时有 ；当 时有 ；当 时有 。
因此对所有 ，均有
其中 。 故命题得证。
高等代数
设 为三阶矩阵， 为三阶单位矩阵。分别在下列条件下求 ：
(1) ;
(2) .
解答
(1) 由， 则的特征值分别为。
(2) 设的三个特征值分别为。 由
考虑线性方程组
其中。
则
故
设 。证明：存在可逆矩阵 与对称矩阵 ，使得
解答
设
由矩阵秩的标准形，存在可逆矩阵 ，使得
令
以及
因为 与 都可逆，所以 可逆。且
又由于
故
因此 是对称矩阵。
又
所以确实存在可逆矩阵 与对称矩阵 ，使得
设 是有限维线性空间， 是 上的线性变换，且其最小多项式为
判断分解
是否成立；若不成立，请写出相应的正确分解。
解答
记
则。
则存在多项式，s.t.
由，有
，有
由
则，即
则
则，有，其中
记。，有
则
即
故
实变函数
设 为有限测度空间， 为 上的可测函数列。证明：
解答
充分性：
若 ，则对任意 ，
令
对任意 ，
因此
于是
故 。
又因为
且 ，由勒贝格控制收敛定理，得
充分性得证。
必要性：
假设
由于被积函数非负且积分趋于 ，由积分收敛与测度收敛的关系，可知
取任意 。函数
严格单调递增（因为 对 ）。因此
于是
故 。
必要性得证。
综上，结论成立。
