2026 年安徽卷第 15 题正是这样一个典范：它用"乙静止"三个字埋下电荷量的伏笔，用"速度恰好水平"一句话锁定斜抛的最高点，再用一次弹性碰撞把两个物体送上截然不同的轨道，最后用"再次相遇"逼你写出带整数参数  的通解。

本文带你把每一个物理过程拆开揉碎，既讲清"怎么算"，更讲透"为什么这么想"。

一、真题重现

15. 如图，空间中有方向竖直向上的匀强电场（电场强度大小为 ）和方向垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小为 ）。不带电小球甲（质量为 ）从  点以初速度  斜向上抛出，抛射角为 ；带电小球乙（质量为 ）静止在  点。甲运动到  点时速度方向恰好水平，并与乙发生完全弹性碰撞（碰撞过程无电荷量转移）。不计空气阻力。重力加速度为 。

求：

(1) 求小球乙的电荷量及电性；

(2) 求碰撞后甲、乙的速度大小；

(3) 当乙的速度第一次竖直向下时，求甲距离  点的水平距离；

(4) 将乙再次静置于  点。不带电的绝缘小球丙（质量为 ）从某位置以初速度（水平分量为 、竖直分量为 ）抛出，到达  点时速度方向恰好水平，并与乙发生完全弹性碰撞。碰后丙运动到与抛出点等高处再次与乙相遇，求  与  的关系。

题设梳理

二、情境拆解——"四幕剧"结构

这道压轴题的本质是把四个独立物理模型串联成链：

四幕式物理问题拆解

从斜抛 → 碰撞 → 双运动并行 → 周期性通解，一条主线串到底。

第一幕：甲的斜抛飞行（第 1–2 问）

甲（质量 ，不带电）以初速 、仰角 60° 斜向上抛出，飞行过程中只受重力 。

这一阶段的核心模型是斜抛运动。

题目给了一条关键线索——"到 O 点时速度恰好水平"，也就是说，O 点恰好是整段轨迹的最高点。

第二幕：O 点的完全弹性碰撞（第 3 问）

甲到达  点时，与静止的乙（质量）发生正碰，入射速度为 。

核心模型是一维完全弹性碰撞，要同时列动量守恒和动能守恒两个方程。

碰撞结果是：甲被反弹回去，乙获得向右的速度——一碰分两家。

第三幕：两球分道扬镳（第 3 问延续）

碰后两球各自运动，且同时进行：

• 甲做平抛运动，只受重力，水平射出后自由下落；
• 乙进入复合场，做匀速圆周运动。

这两类运动各自独立、同台进行，解题的关键是找到"时间"这座桥梁，把两者的运动同步到同一时刻。

第四幕：周期性重逢（第 4 问）

把甲换成丙，丙与某物体弹性碰撞后做斜抛往返，与此同时另一物体仍在做圆周运动。

这一阶段新增了整数参数 n，要把"斜抛往返"和"圆周周期"匹配起来。

重点提醒：答案不是某一个具体数值，而是带着 n 的通解。

三对象全程属性表

三、逐问解析

第(1)问：乙的电荷量与电性

切入点：题目说乙静止在  点——三个字就决定了全部！

静止 合力为零 共点力平衡问题

乙的受力分析：

平衡条件要求电场力向上以抵消重力。而电场  的方向正是竖直向上，因此电场力向上的唯一可能是 ：

电性判断：，即小球乙带正电。

思维要点："静止"是最值钱的隐含条件。看到物体在电磁场中静止，立刻写 ，这是命题人放在桌面上的第一把钥匙。

第(2)问：碰撞后甲和乙的速度大小

这问分两步走：先求碰撞前甲的速度，再做弹性碰撞计算。

步骤一：求甲到达  点时的速度 

甲只受重力，做斜抛运动。题目给出关键信息：到  点时速度方向恰好水平。

斜抛运动的核心性质：只有最高点的速度才是纯水平的（竖直分量减为零）

所以  点就是甲斜抛轨迹的最高点。利用水平方向不受力（匀速）的性质：

方向：水平向右（）。

步骤二：一维完全弹性碰撞

设甲、乙碰后的速度分别为 （甲）、（乙），向右为正方向。已知：甲质量 、入射速度 ；乙质量 、初速为 。

守恒方程组：

动量守恒：

动能守恒：

解得：

代回求甲碰后速度大小：

碰撞后速度汇总：

易错提醒：题目问的是速度大小，但解题过程中一定要保留方向信息（通过正负号），因为方向决定了后续运动轨迹的走向。甲被反弹向左，乙向右进入磁场区域，两者背道而驰 。

第(3)问：乙首次竖直向下时，甲的水平距离

这道小问的精髓在于两个物体同时运动但规律不同 ——必须找到连接两者的桥梁：共同经历的时间  。

3.1 乙的运动：复合场中的匀速圆周运动

碰撞后乙以速度  水平向右飞入复合场区域。分析受力：

关键结论：重力与电场力完美抵消，乙仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动。

这就是第 (1) 问求  的深意所在——命题人从一开始就在为后面的圆周运动铺路。高考压轴题的每一个小问都不是孤立的。

圆周运动参数：

周期（代入  后的简化形式）：

注意：复合场中匀速圆周运动的周期与速率无关！这是一个非常重要的结论——无论乙的速度多大，转一圈的时间都只由场参量决定。

"第一次速度竖直向下"的含义：

乙从水平向右出发，受洛伦兹力向下（正电荷、速度向右、磁场向外，由左手定则判定），圆心在  点正下方，轨迹为顺时针圆弧。转过  圆周（圆心角 ）到达最右端点时，速度方向恰好竖直向下：

3.2 甲的运动：碰撞后的平抛

碰撞后甲以速度 水平向左做抛体运动（只受重力，水平方向匀速）：

3.3 联立求解

将  代入甲的位移公式：

方法总结——"时间桥梁法" ：

当两个物体的运动规律不同时（一个平抛、一个圆周），不要试图用位置关系直接联立。正确做法是：

1. 确定两者经历的共同时间
2. 分别写出各自在时间  内的运动方程
3. 通过  这个"桥梁"建立联系

第(4)问：周期性相遇条件 —— 全题最大亮点

这是区分优秀与顶尖考生的分水岭。它在前三问的基础上引入了新对象（丙） 和周期性思维（整数参数 ），答案不再是单个数值，而是一族解。

4.1 物理情景重建

让我们把第 (4) 问的完整过程理清楚：

丙的斜抛与等质量交换碰撞（分步说明）

① 抛出 —— 在某一高度的抛出点 ，丙（质量 ，不带电）以水平分速度 、竖直分速度  斜向上抛出。

② 斜抛上升 —— 上升阶段竖直方向匀减速、水平方向匀速，轨迹是一段斜抛曲线。

③ 到达  点 ——  点是丙斜抛轨迹的最高点：此时竖直分速度已减为 ，速度恰好水平，大小就是 。

④ 发生弹性碰撞 —— 在 点所在的水平线上，丙() 与静止的乙() 发生完全弹性碰撞。因两球质量相等，碰撞等价于速度交换。

⑤ 碰撞后分离

• 丙：水平速度变为 0；
• 乙：以  水平射出，进入复合场做圆周运动。

⑥ 丙自由下落 —— 被"定"在  点的丙从静止开始自由下落，最终正好落回到与抛出点  相同的高度。

核心一句话：质量相等 → 速度交换（"丙停"、乙走），O 点既是斜抛最高点，又是圆周运动的初速度衔接点。

关键细节：丙和乙质量相等（均为 ），且乙初始静止。等质量弹性碰撞的特殊结果——交换速度：

4.2 两侧运动的时间分析

左侧——丙的运动（碰撞后）：

碰撞瞬间丙在  点速度为 ，之后仅在重力作用下运动。丙需要从  点回到抛出点  的等高处。

由于  点是丙斜抛轨迹的最高点， 点在  点下方（斜抛从  上升到最高点 ）。所以碰撞后丙做自由落体运动，从  点落回  的等高处。

设抛出点  比  点低 ，则：

从  点自由落体回高度  处的时间：

右侧——乙的运动（碰撞后）：

乙以速度  水平射入复合场，与第 (3) 问的分析完全相同：电场力与重力平衡，仅受洛伦兹力做匀速圆周运动。

圆周运动参数（ 点为圆周最高点）：

同样注意：周期与  无关！无论丙以多大水平速度撞乙，乙的圆周运动周期都是同一个值。这是复合场圆周运动的普适性质。

4.3 相遇的双重约束——高度匹配 + 时间同步

丙从  点落到抛出点等高处所需时间为 。

乙以速度  进入复合场做匀速圆周运动。由于碰撞后乙从  点水平向右出发，受洛伦兹力向下（正电荷、速度向右、磁场向外），圆心在  点正下方， 点恰好位于圆周的最高点。因此：

• 约束一（空间）：丙从  点下落的高度  必须等于乙到达的相遇点与  点的距离。乙经过半周期的奇数倍时恰好回到圆周最低点（位于  点正下方），该点距  点为 直径 
• 约束二（时间）：丙的下落时间必须等于乙运动到最低点的时间

代入求解——约束一（高度方程）：

将  和  代入：

再代入 ：

化简得：

此式表明  与  存在耦合——竖直分量和水平分量不能任意取值，必须满足上述比例关系。

代入求解——约束二（时间方程）：

周期 （注意：复合场中圆周运动的周期与速率无关！）：

化简得：

最终结果——两式联立：

第 (4) 问的完整答案由式 (A) 和式 (B) 共同给出，即空间约束与时间约束必须同时满足：

合并写成参考答案的联立形式：

为什么有两个约束？ 因为"再次在抛出点等高处相遇"同时限定了在哪里相遇（空间位置）和什么时候相遇（时间时刻）。空间上要求丙的下落距离等于乙的圆周直径；时间上要求两者同时到达该位置。两个条件缺一不可，共同锁定了  的取值范围。

从物理本质看：式 (A) 把连续变化的  和  耦合成一条曲线；式 (B) 在这条曲线上又"打了一排离散的点"——这就是"连续  离散"思想的完美体现。

四、方法提炼——六大积木模块

解题策略路线图

物理大题「六步拆解法」

第一步：读题审题——圈画"状态词"重点盯住"静止""水平""恰好""第一次""再次相遇"这类词，每个词其实都是一条物理条件的编码，读题时就要把它们标出来。

第二步：划分过程阶段把整道题按时间顺序切成几段：甲斜抛 → 甲乙碰撞 → 甲/乙分飞 →（第 4 问）丙替甲重来。先有整体框架，再逐段突破。

第三步：从最确定的入手

• 乙静止 → 受力平衡 → 直接求 q（第 1 问，属于送分）；
• 甲到 O 点速度水平 → 即斜抛最高点 → 直接得 v₁（第 2 问前半）。

先拿稳能拿的分，建立信心。

第四步：套标准模型

• 弹性碰撞：列动量 + 动能双守恒，解方程组（第 2 问后半）；
• 复合场圆周运动：用 qvB = Mv²/R（第 3 问）；
• 等质量碰撞：直接速度交换，是第四问的捷径。

第五步：找"桥"联立

• 第 3 问：时间 t 是桥梁，把甲的平抛和乙的圆周运动同步到同一时刻；
• 第 4 问：同样是时间 t 作桥，再叠加周期性 → 自然引入整数参数 n。

第六步：检验做完用三把尺子过一遍：量纲检查、符号审查、极限情形代入，确保答案靠谱。

核心思路：先圈条件、再分阶段、从确定项破题、套熟模型、用"时间"搭桥、最后检验——六步走完，大题不慌。

常见失分陷阱

五、变式拓展

拓展一：磁场反向会怎样？

若  的方向改为垂直纸面向内（ 而非 ）：

• 洛伦兹力方向反转  乙的圆周运动改为逆时针
• "第一次竖直向下"对应的圆心角仍为 ，时间不变
• 结论：磁场方向影响转向，但不影响周期和速率大小

拓展二：抛射角一般化

若甲的抛射角为 （不限于 ）：

• 后续所有含  的结果都变成  的函数
• 可进一步讨论： 取何值时第 (3) 问的距离  最大？（优化问题，涉及三角函数极值）

拓展三：非完全弹性碰撞

若碰撞恢复系数为 （）：

• 动量仍守恒，但动能不再守恒
• 引入  关联分离速度与接近速度
• 结果将包含参数 ，更具一般性

拓展四：第(4)问的物理本质——"量子化"的时间匹配

第 (4) 问的核心美妙之处在于：连续的物理世界里出现了离散的约束。

• 丙的下落时间是连续的（随  连续变化）
• 乙的圆周运动是周期性的（只能在特定时刻回到指定相位）
• 两者要相遇  连续时间必须落在离散的时间点上
• 数学表达就是  这个奇数序列

这种"连续  离散"的思想在物理学中随处可见（玻尔原子能级、驻波频率、衍射级次……），本题是一个绝佳的入门载体。