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1 一、选择题
（1）
函数 的可去间断点的个数为（ ）
- （A）1.
- （B）2.
- （C）3.
- （D）无穷多个.
答案： C
解析： 当 为整数时，，故间断点有无穷多个。可去间断点需同时满足 ，即 。且这三点处极限均存在，所以可去间断点有 3 个。
（2）
当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： A
解析： 若 ，则 ，与 阶数不同，故 。此时 ，而 ，由等价得 。
（3）
设函数 的全微分为 ，则点 （ ）
- （A）不是 的连续点.
- （B）不是 的极值点.
- （C）是 的极大值点.
- （D）是 的极小值点.
答案： D
解析： 由 得 ，故在 处一阶偏导均为 0。又 ，满足 且 ，所以 为极小值点。
（4）
设函数 连续，则
（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： C
解析： 两个积分区域合并后为 ，故原式等于 。
（5）
若 不变号，且曲线 在点 处的曲率圆为 ，则函数 在区间 内（ ）
- （A）有极值点，无零点.
- （B）无极值点，有零点.
- （C）有极值点，有零点.
- （D）无极值点，无零点.
答案： B
解析： 曲率圆在 处切线斜率为 ，故 。由曲率圆位置及 不变号知 ，故 ，无极值点。又由中值定理，，而 ，故 ，因此在 内有零点。
（6）
设函数 在区间 上的图形为（图示略），则函数 的图形为（图示略）
- （A）图示略.
- （B）图示略.
- （C）图示略.
- （D）图示略.
答案： D
解析： 由图可知： 时， 且递减； 时递增； 时为常函数； 时， 且为线性函数。结合连续性，选 D。
（7）
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： B
解析： 令 ，则 ，且 。所以 。
（8）
设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且
。
若 ，，则 为（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： A
解析： 由 ，其中 ，得 。代入计算得 。
2 二、填空题
（9）
曲线 在点 处的切线方程为 ________。
答案：
解析： 当曲线过 时，。有 ，，故 ，切线方程为 。
（10）
已知 ，则 ________。
答案：
解析： 积分收敛需 。又 ，由 得 。
（11）
________。
答案：
解析： 令 。分部积分或直接计算得 ，其绝对值趋于 0，故极限为 0。
（12）
设 是由方程 确定的隐函数，则 ________。
答案：
解析： 对 求导，得 。再求导，得 。当 时，，代入得 。
（13）
函数 在区间 上的最小值为 ________。
答案：
解析：，故 。令 得 ，且该点为最小值点，所以最小值为 。
（14）
设 为 3 维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则 ________。
答案：
解析： 相似矩阵特征值相同，故 的特征值为 。又 ，所以 。
3 三、解答题
（15）
求极限
。
解析： 因为 ，，且 ，所以原极限为 。
（16）
计算不定积分
。
解析： 令 ，则 。由分部积分得
。
又
。
代回 ，得
。
（17）
设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 与 。
解析： 记 为 关于第 个变量的一阶偏导， 为二阶偏导，均在 处取值。
。
所以
，
。
（18）
设非负函数 满足微分方程 。当曲线 过原点时，其与直线 及 围成的平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体的体积。
解析： 微分方程通解为 。曲线过原点，故 。由面积条件得 ，故 ，即 。
由 得 。区域 绕 轴旋转所得体积为 ，其中
。
故 。
（19）
计算二重积分
，
其中
。
解析： 采用极坐标 。由区域条件得 ，。于是
。
令 ，得
。
（20）
设 是区间 内过点 的光滑曲线。当 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 时，函数 满足 。求函数 的表达式。
解析： 当 时，法线过原点，故 ，从而 。代入点 得 ，故 。
当 时，方程 的通解为 。由光滑性，，故 。
因此
。
（21）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在 ，使得 。
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且 。
解析：
（Ⅰ）作辅助函数 。则 ，由罗尔定理，存在 ，使 ，即 ，故 。
（Ⅱ）任取 ，由（Ⅰ）知，存在 ，使 。令 ，则 ，故 。
（22）
设
。
（Ⅰ）求满足 ， 的所有向量 ；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 ，证明： 线性无关。
解析：
（Ⅰ）解 ，得
，
其中 为任意常数。
又 。解 ，得
，
其中 为任意常数。
（Ⅱ）由
，
可知 线性无关。
（23）
设二次型
。
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值。
解析：
（Ⅰ）二次型矩阵为
。
其特征多项式为
。
故特征值为 。
（Ⅱ）规范形为 ，说明有两个正特征值、一个零特征值。若 或 ，均不符合；若 ，则特征值为 ，符合题意。故 。
