1 一、选择题
1
若当 时， 是非零无穷小量，则以下的命题中，
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则，
真命题的序号为
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点
- 无穷小量的等价关系；
- 高阶无穷小的定义与运算；
- 等价无穷小与差的高阶无穷小之间的关系。
解析
① 若，则
因此
故 ① 正确。
② 若，只能推出
不一定有。例如取，则，但，故 ② 错误。
③ 若，则
所以
故 ③ 正确。
④ 若，则
故，④ 正确。
综上，真命题为 ①③④。
答案
2
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点
- 二重积分的积分区域表示；
- 交换二次积分次序；
- 一元定积分的换元法。
解析
原积分区域为
等价地可写为
因此交换积分次序得
令，则。当 时，；当 时，。于是
答案
3
设 在 处有二阶导数，则
- A.当 在 的某邻域内单调增加时，
- B.当 时， 在 的某邻域内单调增加
- C.当 在 的某邻域内是凹函数时，
- D.当 时， 在 的某邻域内是凹函数
知识点
- 导数与函数单调性的关系；
- 二阶导数与凹凸性的关系；
- 必要条件、充分条件与反例判断。
解析
选项 A 错误。函数在某邻域内单调增加，只能推出该点导数不小于零，不一定大于零。例如
则 在 的某邻域内单调增加，但。
选项 B 正确。由于 在 处有二阶导数，可知 在 处连续。若，则存在 的某邻域，使得该邻域内有
由函数单调性的判定定理， 在该邻域内单调增加。
选项 C 错误。即使函数在某邻域内具有相应凹凸性，也不能推出二阶导数在该点严格大于零。例如常数函数满足相应的凹凸性，但
选项 D 错误。 是在一点处的信息，不能直接推出函数在整个邻域内具有题设所说的凹函数性质。
因此正确选项为 B。
答案
4
已知 连续，令
则
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点
- 变上限积分函数求导；
- 多元复合函数偏导数；
- 二阶偏导数计算。
解析
令
则
设
则。由莱布尼茨公式，
因此
所以
继续求二阶偏导得
故
答案
5
设 为常数，若反常积分
收敛，则 的取值范围是
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点
- 反常积分敛散性；
- 无界点附近的等价比较；
- 与 的收敛条件。
解析
被积函数在 与 处可能出现反常性，需要分别讨论。
当 时，
故被积函数与
同阶。已知
收敛的条件为
当 时，
且，所以被积函数与
同阶。于是要求
收敛，即
综上，
答案
6
设数列 满足，则
- A.若 存在，则 存在
- B.若 存在，则 存在
- C.若 存在，则 存在，但 不一定存在
- D.若 存在，则 存在，但 不一定存在
知识点
- 复合函数极限；
- 单调连续函数的反函数思想；
- 数列收敛与反例构造。
解析
因为
所以
函数 在区间 上严格单调递增且连续，因此若
存在，则
存在。
但是 有极限并不一定推出 有极限。例如取
则
恒成立，所以 收敛，但 不收敛。
另外， 在 上不是一一对应函数，因为它是偶函数。取
则 为常数，但 与 均不收敛。因此 A、C 不正确。
故正确选项为 D。
答案
7
若
则
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点
- 定积分大小比较；
- 常用不等式；
- 利用函数单调性证明不等式。
解析
先比较 与。令
则
因此
又，所以
从而
再比较 与。当 时，
且
于是
积分得
综上，
答案
8
设矩阵
则 的特征值为 的充分必要条件是
- A.存在可逆矩阵，使得
- B.存在可逆矩阵，使得
- C.存在正交矩阵，使得
- D.存在可逆矩阵，使得
知识点
- 矩阵特征值与相似对角化；
- 相似矩阵具有相同特征值；
- 不同特征值对应的特征向量线性无关。
解析
题中所列对角矩阵在选项中记作
若矩阵 的特征值为，由于三个特征值互不相同，故 可相似对角化，即存在可逆矩阵，使得
反过来，若存在可逆矩阵 使
则 与 相似。相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值为。
选项 A 是一般的等价变换形式，不能刻画特征值；选项 C 要求正交相似，条件过强；选项 D 是合同变换形式，也不能刻画特征值。
因此充分必要条件为 B。
答案
9
设矩阵
则线性方程组 的解的情况为
- A.无解
- B.有解
- C.有无穷多解或无解
- D.有唯一解或无解
知识点
- 线性方程组解的判定；
- 系数矩阵与增广矩阵的秩；
- Vandermonde 型行列式。
解析
系数矩阵的行列式为 Vandermonde 型：
当
时，系数矩阵 可逆，方程组有唯一解。
当
时，出现以下情形之一：
- ，此时系数矩阵第 1 行与第 2 行相同，但增广列对应元素分别为 与，矛盾；
- ，此时系数矩阵第 1 行与第 3 行相同，但增广列对应元素分别为 与，矛盾；
- ，此时系数矩阵第 2 行与第 3 行相同，但增广列对应元素分别为 与，矛盾。
因此当 时，均有
方程组无解。
综上，方程组只可能有唯一解或无解。
答案
10
设
若 与 等价，则 的取值范围是
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点
- 向量组等价的定义；
- 向量组的秩与张成空间；
- 行列式判别向量组线性相关性。
解析
两个向量组等价，指它们可以相互线性表示，即它们张成的子空间相同。本题中两组向量都含有，因此可通过讨论两组向量的张成空间来判断。
计算行列式：
当
时，两个行列式均不为零，两组向量都张成，故两组向量等价。
当 时，
两组向量张成同一直线，仍然等价。
当 时，
两组向量张成空间维数不同，不等价。
当 时，
两组向量张成空间维数不同，不等价。
因此
答案
2 二、填空题
11
知识点
- 型极限；
- 取对数法；
- 等价无穷小替换。
解析
设极限为。由于原式为 型，取对数：
当 时，
所以
从而
又
故
因此
答案
12
已知函数 由方程
确定，则
知识点
- 隐函数求导；
- 二阶导数计算；
- 代入点处函数值的确定。
解析
先由题设方程确定：
显然
对方程
两边对 求导，得
代入，得
所以
继续对
求导，得
即
代入，得
整理得
所以
答案
13
知识点
- 有理函数积分；
- 分子拆分法；
- 配方法与反正切积分。
解析
将分子拆分为
于是
第一项为
又
因此
答案
14
微分方程
的通解为
知识点
- 常系数线性齐次微分方程；
- 特征方程法；
- 复根对应的通解形式。
解析
设
对应特征方程为
因式分解得
故特征根为
因此通解为
其中 为任意常数。
答案
15
已知曲线 的极坐标方程为
则 围成的有界区域的面积为
知识点
- 极坐标曲线；
- 极坐标面积公式；
- 三角函数平方积分。
解析
由极坐标面积公式，
本题中
因此
答案
16
设 为 阶矩阵，交换 的第 行和第 行，再将第 列的 倍加到第 列，得到矩阵
则
知识点
- 初等行变换与初等列变换；
- 矩阵逆的计算；
- 矩阵迹的定义。
解析
记题设变换后得到的矩阵为
交换第 2 行和第 3 行对应左乘矩阵
将第 2 列的 倍加到第 1 列，对应右乘矩阵
因此
于是
先求
所以
因此
答案
3 三、解答题
17
已知函数 在 处可导，且
求.
知识点
- 可导定义；
- 复合函数极限；
- 等价无穷小 与。
解析
因为
所以分子趋于
若原极限为有限值，则必须有
即
由 在 处可导，且
可得
代入题设极限，得
所以
18
设函数 是微分方程
的满足条件
的解，求曲线 在 上的弧长.
知识点
- 一阶线性微分方程；
- 积分因子法；
- 平面曲线弧长公式。
解析
将微分方程化为标准形式：
其积分因子为
于是
求解并结合初值，可得
于是
曲线在 上的弧长为
因为，所以
故
因此
19
已知平面区域
计算
知识点
- 二重积分的极坐标变换；
- 平面区域的极坐标表示；
- 三角函数积分。
解析
采用极坐标变换
被积函数化为
区域 位于上半平面，故
右边界 对应圆
即
左边界 等价于
即
因此区域可分为两部分：
当
时，射线从原点出发到达圆弧，故
当
时，射线从原点出发到达直线，故
于是
计算得
20
已知可微函数 满足
且
（I） 记，求；
（II） 求 的表达式与极值.
知识点
- 多元复合函数求偏导；
- 一阶偏微分方程的变量代换；
- 多元函数驻点与极值判定。
解析
（I）
由
可知
根据链式法则，
由题设，
代入，得
（II）
由（I）得
对 积分，有
其中 为关于 的任意函数。
由于
令
则
于是
即
利用条件，得
因此
所以
下面求极值。记
则
令，得
两式相减得
代入得
故
因此驻点为
因为
且仅当 时取，所以 是极小值点，极小值为
对，沿直线 有
在 附近取局部最大趋势；而沿直线 有
在 处取局部最小趋势。因此 不是极值点。
综上， 只有一个极小值，且极小值为
21
设函数 在 上有二阶连续导数，证明：
的充分必要条件是对任意不同的实数，都有
成立.
知识点
- 二阶导数与凸函数；
- 凸函数的切线性质；
- 反证法；
- 定积分平均值思想。
解析
不妨设，记
必要性
若
在 上成立，则 为凸函数。
凸函数在任一点的切线位于函数图像下方，因此对任意，有
两边在 上积分，得
由于
所以
即
充分性
反设存在，使得
由于 连续，存在，使得当
时，有
取充分小的，使得区间
令
则
在该区间内，所以 在该区间上严格凹。严格凹函数的图像位于其切线下方，即当 时，
两边在 上积分，得
而
所以
即
这与题设不等式
矛盾。因此不存在 使，故
综上，命题得证。
22
已知二次型
（I） 求正交矩阵，使正交变换 将二次型 化为标准形；
（II） 证明
知识点
- 二次型的矩阵表示；
- 实对称矩阵的正交对角化；
- Rayleigh 商与特征值；
- 正交变换保持向量长度。
解析
二次型对应的实对称矩阵为
（I）
求特征值：
故特征值为
对应特征向量可取为
其中 对应特征值， 对应特征值，且三者为标准正交向量组。
令
则 为正交矩阵，且
在正交变换
下，二次型化为标准形
（II）
由于 为正交矩阵，
又
因此当，也即 时，
当
时，等号成立。故