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1 一、选择题
1.
函数 的无穷间断点的个数为（ ）
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.
答案： （B）
解析： 间断点为 。化简得 ，其中 。当 时极限为 ，当 时极限为 ，故 为跳跃间断点； 为可去间断点；当 时 ，故只有 是无穷间断点。
2.
设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （A）
解析： 由 是齐次方程的解，得 ，故 。由 是非齐次方程的解，得 ，故 。因此 。
3.
曲线 与曲线 相切，则 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （C）
解析： 相切时斜率相等，故 ，即 。又两曲线交于切点，所以 ，解得 。
4.
设 是正整数，则反常积分 的收敛性（ ）
（A）仅与 的取值有关. （B）仅与 的取值有关. （C）与 取值都有关. （D）与 取值都无关.
答案： （D）
解析： 在 附近，，被积函数等价于 ，对正整数 均收敛；在 附近，对数函数的增长慢于任意幂函数，故也收敛。因此收敛性与 的取值都无关。
5.
设函数 ，由方程 确定，其中 为可微函数，且 ，则 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （B）
解析： 对 分别关于 求偏导，得 ，，因此 。
6.
（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （D）
解析： 原式可写为 。两部分分别为黎曼和，极限为 与 ，故结果为 。
7.
设向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，下列命题正确的是（ ）
（A）若向量组 I 线性无关，则 . （B）若向量组 I 线性相关，则 . （C）若向量组 II 线性无关，则 . （D）若向量组 II 线性相关，则 .
答案： （A）
解析： 因向量组 I 可由向量组 II 线性表示，故 。若向量组 I 线性无关，则 ，从而 。
8.
设 为 4 阶实对称矩阵，且 ，若 的秩为 3，则 相似于（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （D）
解析： 设 为 的特征值，由 得 ，故 或 。又 为实对称矩阵，可相似对角化，且 ，所以其对角形中有三个 和一个 。
2 二、填空题
9.
3 阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 .
答案：
解析： 特征方程为 ，即 ，特征根为 。
10.
曲线 的渐近线方程为 .
答案：
解析： 因为 ，且 ，故渐近线为 。
11.
函数 在 处的 阶导数 .
答案：
解析： 由 的高阶导数公式可得 ，令 即得结果。
12.
当 时，对数螺线 的弧长为 .
答案：
解析： 极坐标弧长为 。由 ，得弧长为 。
13.
已知一个长方形的长 以 的速率增加，宽 以 的速率增加，则当 时，它的对角线增加的速率为 .
答案：
解析： 设对角线为 ，则 ，所以 。代入 ，得 。
14.
设 为 3 阶矩阵，且 ，则 .
答案：
解析： 因为 ，所以 。
3 三、解答题
15.
求函数 的单调区间与极值.
解析： 由变上限积分求导得 ，故驻点为 。根据 的符号可得，单调递减区间为 与 ，单调递增区间为 与 。又 ，，故极大值为 ，极小值为 。
16.
（I）比较 与 ， 的大小，说明理由；
（II）记 ，，求极限 .
解析： （I）当 时，，故 。又 ，因此 。
（II）由 ，得 ，故由夹逼定理可知 。
17.
设函数 由参数方程 所确定，其中 具有 2 阶导数，且 。已知 ，求函数 .
解析： 由参数方程得 ，从而 。结合已知条件，得 。令 ，解得 。由 得 ，故 。积分并用 ，得 ，其中 。
18.
一个高为 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 、短轴为 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时，计算油的质量。（长度单位为 ，质量单位为 ，油的密度为常数 ）
解析： 截面椭圆方程为 。油面高度为 时，截面积为 。令 ，得 。因此油的质量为 。
19.
设函数 具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 的值，使等式在变换 下化简为 .
解析： 由 ，得 ，。代入原方程后， 与 的系数应为 ，即 ，。所以 均取 或 。为使只剩 项，应取不同根，故 或 。
20.
计算二重积分 ，其中 .
解析： 由 ，区域 化为 ，且原积分化为 。先对 积分，得 。令 ，得 ，故 。
21.
设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，证明：存在 ，使得 .
解析： 令 ，则 。在 和 上分别对 用拉格朗日中值定理，存在 ，，使 ，。两式相加得 ，即 。
22.
设 ，已知线性方程组 存在两个不同的解。
（I）求 ；
（II）求方程组 的通解.
解析： 由方程组有两个不同的解，知 ，故 。计算得 ，所以 或 。当 时方程组无解，舍去；当 时，由相容条件得 。因此 。
此时增广矩阵化简为 ，故 ，。令 ，通解为 ，其中 为任意常数。
23.
设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第 1 列为 ，求 .
解析： 因 的第 1 列为 ，故 是 的特征向量。由 ，得 。于是 。
其特征值为 。对应的单位正交特征向量可取 ，，。因此可取 ，此时 。
