1 一、选择题
1
函数
的第一类间断点的个数为（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
知识点：
- 函数间断点的分类；
- 指数型函数极限的处理方法；
- 第一类间断点与第二类间断点的判定；
- 重要等价无穷小 。
解析：
函数可能出现间断的点来自底数或指数表达式异常的位置，即
当 时，，有
令 ，则 ，且
因此
所以
故 为可去间断点，属于第一类间断点。
当 时，
故
所以 为无穷间断点，属于第二类间断点。
当 时，，而
并且
故 不是第一类间断点。
综上，第一类间断点只有 个，即 ，故选 C。
2
已知
则
等于（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 参数方程确定函数的导数；
- 函数在一点处的导数定义；
- 复合极限与增量形式；
- 局部线性近似。
解析：
由参数方程
可知
当 时，
所以
因此
原极限可写成导数定义形式。令
则当 时，，且
于是
故选 B。
3
已知
则（ ）
- A. 为奇函数， 为奇函数
- B. 为奇函数， 为偶函数
- C. 为偶函数， 为偶函数
- D. 为偶函数， 为奇函数
答案： D
知识点：
- 奇偶函数的判定；
- 变上限积分函数的奇偶性；
- 奇函数积分得到偶函数、偶函数积分得到奇函数的常用结论；
- 复合函数奇偶性的判断。
解析：
设
因为 为奇函数，所以
即 为偶函数。
又
由于 为奇函数，而 为偶函数，所以
故 为偶函数。
再看
由于 为偶函数，故
因此 为奇函数。
故选 D。
4
已知数列 （），若 发散，则（ ）
- A. 发散
- B. 发散
- C. 发散
- D. 发散
答案： D
知识点：
- 数列收敛与发散；
- 反例法判断命题真假；
- 连续严格单调函数及反函数；
- 收敛数列在连续函数下的极限性质。
解析：
先用反例排除 A、B、C。
对 A，取
则 在 与 之间振荡，故发散，但
因此
收敛，A 错。
对 B，取
则 发散，但
故 B 错。
对 C，仍取
则 发散，但
故 C 错。
对 D，设
令
函数 在 上连续且严格单调递增，并且存在连续反函数。若 收敛，设
则
这与 发散矛盾。
所以 D 正确。
故选 D。
5
已知函数
则在点 处（ ）
- A. 连续， 可微
- B. 连续， 不可微
- C. 不连续， 可微
- D. 不连续， 不可微
答案： C
知识点：
- 二元函数在一点处的偏导数；
- 二元函数可微的定义；
- 偏导数连续与可微的关系；
- 多元函数极限的路径判别法。
解析：
先求原点处的偏导数。由于
所以
且
再判断可微性。由于
所以
因此 在 处可微。
当 时，
取路径 ，则
当 时，上式不存在有限极限，故
在 处不连续。
综上， 可微，但 不连续，故选 C。
6
设 为连续函数，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点：
- 二重积分的积分区域；
- 改变二重积分的积分次序；
- 三角函数 在区间 上的单调性；
- 由区域图形确定积分上下限。
解析：
原积分对应的区域为
在区间
上， 单调递增，且
因此换成先对 积分时，有
对于固定的 ，由
得
又原来
所以
故
故选 A。
7
设非负函数 在 上连续，给出三个命题：
- 若 收敛，则 收敛；
- 若存在 ，使极限 存在，则 收敛；
- 若 收敛，则存在 ，使极限 存在。
其中正确命题的个数是（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 反常积分的收敛性；
- 比较判别法；
- 型积分 的收敛条件；
- 通过反例判断命题真假。
解析：
命题 1 错。取
则 且连续，并且
收敛，但
发散。
命题 2 对。若存在 ，使
存在有限极限，则存在常数 和 ，当 时，
于是
因为 ，所以
收敛。由比较判别法可知
收敛。
命题 3 错。取
该函数在 上非负连续，且
收敛。
但对任意 ，有
所以不存在 使其具有有限极限。
因此正确命题只有命题 2，共 个，故选 B。
8
设 为三阶矩阵，
若
则矩阵 为（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
知识点：
- 矩阵乘法；
- 可逆矩阵与等价变形；
- 转置矩阵；
- 通过代入验证矩阵表达式。
解析：
由题设可得
也可以直接验证选项。若
则
所以
又
于是
与题设一致，故
故选 C。
9
设 为 阶矩阵， 为 的伴随矩阵。若
则 的取值为（ ）
- A. 或
- B. 或
- C. 或
- D. 或
答案： D
知识点：
- 伴随矩阵的基本性质；
- 矩阵秩与可逆性的关系；
- 幂零矩阵 的秩性质；
- 秩、像空间与核空间的关系。
解析：
若 可逆，则
由
左乘 得
即
这与题设矛盾。
所以 不可逆，即
由伴随矩阵性质
得
题设等式展开为
因此
于是
所以
即
又若 ，则 。此时四阶零矩阵的伴随矩阵也是零矩阵，即
从而
与题设矛盾。
所以
故选 D。
10
设 均为 阶矩阵，且 ，则“ 有两个不相等的特征值”是“ 可对角化”的（ ）
- A. 充要条件
- B. 充分不必要条件
- C. 必要不充分条件
- D. 既不充分也不必要条件
答案： B
知识点：
- 矩阵可对角化的判定；
- 二阶矩阵特征值与特征向量；
- 可交换矩阵对特征子空间的保持性；
- 充分条件与必要条件的判断。
解析：
若 有两个不相等的特征值，则 有两个线性无关的特征向量。设 是 属于特征值 的特征向量，则
由于
所以
这说明 仍在 关于 的特征子空间中。由于该特征子空间为一维，所以 也是 的特征向量。
因此， 的两个线性无关特征向量可作为 的两个线性无关特征向量，从而 可对角化。
所以“ 有两个不相等的特征值”是“ 可对角化”的充分条件。
反过来不成立。例如取
此时 ，且 可对角化，但 没有两个不相等的特征值。
故该条件是充分不必要条件，选 B。
2 二、填空题
11
曲线 在点 处的曲率圆方程为 ______
答案：
知识点：
- 曲率与曲率半径；
- 参数方程下的曲率计算；
- 曲率圆与曲率中心；
- 抛物线在顶点处的几何性质。
解析：
曲线
在原点附近可写成参数形式
把 看作参数，则
对于 ，曲率公式为
在 处，
故曲率半径为
曲线 在原点处的切线为 轴，法线方向为 轴正方向，故曲率中心为
因此曲率圆方程为
12
函数
的极值点为 ______
答案：
知识点：
- 多元函数驻点；
- 二元函数极值的二阶充分条件；
- Hessian 判别法；
- 偏导数计算。
解析：
先求一阶偏导：
令
得驻点
再求二阶偏导：
在 处，
判别式为
且
所以 为极大值点。
在 处，
于是
故 不是极值点。
因此极值点为
13
微分方程
满足初始条件 的解为 ______
答案：
知识点：
- 一阶微分方程的变量代换；
- 可分离变量微分方程；
- 初始条件确定积分常数；
- 隐式解的表示。
解析：
令
则
代入原方程得
因此
分离变量：
两边积分：
因为
所以
即
又
因此
由初始条件 得
故
所以所求解为
14
已知函数
则
答案：
知识点：
- 高阶导数；
- 莱布尼茨公式；
- 指数函数求导；
- 多项式高阶导数。
解析：
有
由于 的三阶及以上导数为 ，所以
只需计算
由莱布尼茨公式，
其中只有 三项不为零，因此
于是
15
某物体以速度
做直线运动。若它从 到 的平均速度是 ，则 ______
答案：
知识点：
- 平均速度的积分表示；
- 定积分计算；
- 三角函数积分；
- 参数求解。
解析：
平均速度为
由题意，
分别计算：
且
因此
两边乘以 ：
所以
即
16
设向量
若 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 ______
答案：
知识点：
- 向量组线性相关与线性无关；
- 矩阵秩的判定；
- 三阶子式判别法；
- 参数方程组求解。
解析：
将三个向量作为列向量构成矩阵
因为三个向量线性相关，且任意两个向量线性无关，所以
先考察部分三阶子式。取第 行构成的三阶子式：
取第 行构成的三阶子式：
由于 ，所有三阶子式均为 ，所以
若 ，则
这与“任意两个向量均线性无关”矛盾。
故
于是
解得
所以
3 三、解答题
17
设平面有界区域 位于第一象限，由曲线
与直线
围成，计算
知识点：
- 二重积分的几何意义；
- 平面区域的对称性；
- 极坐标变换；
- 二重积分的变量代换与计算。
解析：
区域 关于直线 对称。由于被积函数中 关于直线 互换后变为 ，故
因此
也就是说，原积分等于区域 的面积。
采用极坐标变换：
由两条直线
可得
由两条曲线
可得
所以
于是
因为
所以
因此
18
设 满足方程
且
- 利用变换 化简方程，并求 ；
- 求
知识点：
- 欧拉方程；
- 变量代换 ；
- 二阶常系数线性微分方程；
- 定积分的换元法。
解析：
（1）
令
则
记 为 的函数，则
继续求导：
代入原方程：
化简得
其特征方程为
故
所以
代回 ，得
由初始条件
得
又
由
得
即
联立
解得
因此
（2）
由第（1）问，
所以
令
则
又
当 时，；当 时，。因此
所以
19
设 ，曲线
与直线 及 轴所围平面图形绕 轴旋转所得的旋转体体积为 ，求 的最大值。
知识点：
- 旋转体体积公式；
- 含参数积分求导；
- 函数单调性与最值；
- 指数函数积分。
解析：
绕 轴旋转，使用圆盘法：
因为
所以
因此
对 求导。由变上限积分求导公式，
即
由于
所以 的符号由
决定。
令
得
所以
当
时，
当
时，
故 在
处取得最大值。
下面计算最大值：
由分部积分可得
因此
所以
20
设 具有二阶连续偏导，
且满足
- 求 ；
- 若 ，且 ，求 。
知识点：
- 多元复合函数求偏导；
- 二阶偏导数与链式法则；
- 偏微分方程的简单积分；
- 利用边界条件确定任意函数。
解析：
（1）
设
由链式法则，
继续求二阶偏导：
代入题设：
于是
整理得
所以
（2）
由
知对 积分可得
又题设给出
因此
所以
对 积分：
而
故
由
可得
即
因此
所以
21
设函数 具有二阶导数，且
证明：
- 当 时，
知识点：
- 拉格朗日插值误差估计；
- 二阶导数有界条件；
- 凸函数与凹函数的性质；
- 定积分不等式。
解析：
（1）
记
令
则
并且
由题设
得
先证明上界。令
则
且
所以 是凸函数。凸函数图像在端点连线下方或重合，因此
于是
再证明下界。令
则
且
所以 是凹函数。凹函数图像在端点连线上方或重合，因此
于是
综上，
即
（2）
由第（1）问，对 有
两边在 上积分，得
计算
又
所以
因此
22
设矩阵
二次型
已知方程组 的解是 的解，但两个方程组不同解。
- 求 的值；
- 求正交变换 ，将 化为标准形。
知识点：
- 齐次线性方程组解空间的包含关系；
- 矩阵秩与方程组解空间；
- 二次型的矩阵表示；
- 实对称矩阵的正交对角化。
解析：
（1）
题意为
且两个解空间不同。
由于
的解代入
也成立，所以
与
同解。
因此
又 的两行
线性无关，所以
于是
而
对其作初等行变换，可化为
因为该矩阵的秩为 ，所以
故
此时
其秩为 ，而 ，故
满足“两个方程组不同解”的条件。
（2）
代入
得
因此
对应的实对称矩阵为
它可以写成
因此只有一个非零特征值：
其余两个特征值为
取 对应的单位特征向量为
再在与 正交的零特征子空间中取两个单位正交向量：
令
则 为正交矩阵，并且
所以在正交变换
下，二次型化为标准形