📌 题目呈现
（2026·河北回忆版）T24
如图，在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12。正方形 DEFG 的顶点 D、E、F 分别在 △ABC 三边上。当点 D 从点 B 出发，沿 BA 向点 A 运动时，点 E、F 也分别在 BC、CA 上移动（正方形大小变化）。当点 F 与点 C 重合，移动停止。
(1) 则 tan ∠ABC = ______。
(2) 如图 15-1，当 ∠BED = 45°，求证：BE = CE。
(3) ① 如图 15-2，当 BD = 20/7，求 BE 的长。
② 当 BE = 40/7，直接写出正方形 DEFG 的边长。
(4) 在运动过程中，点 G 移动 1 个单位长度，点 E 移动 d 个单位长度，求 d 的值。
这道题表面上是"一个主动点 + 三个从动点"的复杂动点问题，但本质上是 "一线三垂直"模型（K字型）与 弦图结构 的结合。
关键发现： 点 G 始终在一条平行于 BC 的定直线上运动！
下面进行试题解析，题目解题思路一致，只是有的小问从不同角度讲解，整体分两种方法解析，而且前后问题有关联，方法一是一套解法，方法二是另一种解法，注意前后衔接，别看混了，可以一次只看一种，看完整了在对照另一种，或者每种解法的前后问的条件题设区分清楚了，再每一问方法解析对照
✏️ 逐问精讲
【第(1)问】求 tan ∠ABC
思路： 等腰三角形"三线合一"
过 A 作 AH ⊥ BC 于 H，则 BH = HC = 6。
在 Rt△ABH 中：
AH = √(AB² - BH²) = √(100 - 36) = √64 = 8
tan ∠ABC = AH / BH = 8/6 = 4/3
答案：4/3
💡 由此可得"345"三角比：sin B = 4/5，cos B = 3/5，后续频繁使用。
【第(2)问】当 ∠BED = 45°，求证 BE = CE
思路： 构造"一线三直角"全等
方法一：
证明：过 D 作 DM⊥BC 于 M，过 F 作 FN⊥BC 于 N。∵ 四边形 DEFG 是正方形，∴ DE = EF，∠DEF = 90°。∴ ∠DEM + ∠FEN = 90°。在 Rt△FNE 中，∠EFN + ∠FEN = 90°，∴ ∠DEM = ∠EFN。又 ∠DME = ∠ENF = 90°，∴ △DME ≌ △ENF (AAS)。∴ DM = EN，ME = NF。
在 Rt△BDM 中，tanB = DM/BM = 4/3，设 BM = 3k，则 DM = 4k。当 ∠BED = 45° 时，由 DM⊥BC 知 △DME 为等腰直角三角形，∴ ME = DM = 4k。由全等得 EN = DM = 4k，NF = ME = 4k。在 Rt△CFN 中，∠C = ∠B，tanC = NF/CN = 4/3，∴ CN = (3/4)NF = 3k。于是 BE = BM + ME = 7k，CE = CN + EN = 7k。∴ BE = CE。
方法二：
过 D 作 DM ⊥ BC 于 M，过 F 作 FN ⊥ BC 于 N。
∵ ∠DEF = 90°（正方形内角）∴ ∠DEM + ∠FEN = 90°又 ∠DEM + ∠EDM = 90°∴ ∠EDM = ∠FEN
又 DE = EF（正方形边长相等），∠DME = ∠ENF = 90°
∴ △DME ≌ △ENF (AAS)
设 EM = FN = m，DM = EN = n BE=x
当 ∠BED = 45° 时：
在 Rt△DME 中，∠DEM = 45°，故 DM = EM，即 n = m。
由 △DME ≌ △ENF，结合 Rt△BDM 中 tan B = 4/3：
BD = (5/3)(BE - EM) = (5/3)(x - m)
DM = (4/3)(x - m) = n
同理，在右侧 Rt△FNC 中：
FN = (4/3)(12 - x - n) = m
即：(4/3)(x - m) = n → 4x = 4m + 3n ...①
(4/3)(12 - x - n) = m → 48 - 4x = 3m + 4n ...②
① + ② 得：
48 = 7m + 7n → m + n = 48/7 ...③（定值！）
当 n = m 时，代入③：m = n = 24/7。
代入①：
4x = 4×(24/7) + 3×(24/7) = 168/7 = 24∴ x = 6
即 BE = 6，而 BC = 12，故 CE = 6。
∴ BE = CE
🔑 核心结论： m + n = 48/7 是贯穿全题的"定值密码"！
【第(3)问】① 当 BD = 20/7，求 BE的长
方法一： 由 (2) 的全等结论，仍设 BM = 3k，DM = EN = 4k，BD = 5k。由 BD = 20/7，得 5k = 20/7 ⇒ k = 4/7。则 BM = 12/7，DM = EN = 16/7。设 ME = NF = m，在 Rt△CFN 中，CN = (3/4)m。由 BE + CE = BC = 12 得：(3k + m) + (4k + 3m/4) = 7k + (7/4)m = 12。代入 k = 4/7：7×(4/7) + (7/4)m = 4 + (7/4)m = 12，∴ (7/4)m = 8，m = 32/7。故 BE = 3k + m = 12/7 + 32/7 = 44/7。
方法二：
由(2)得：BD = (5/3)(x - m) = 20/7
∴ x - m = 12/7 → m = x - 12/7
由③：n = 48/7 - m = 60/7 - x。
代入①：
4x = 4(x - 12/7) + 3(60/7 - x)4x = 4x - 48/7 + 180/7 - 3x3x = 132/7x = 44/7
答案：BE = 44/7
【第(3)问】② 当 BE = 40/7 时，直接写出正方形 DEFG 的边长
方法一：
② 由 BE = 3k + m = 40/7，以及 7k + (7/4)m = 12，解得 k = 8/7，m = 16/7。正方形边长 a = DE = √(DM² + ME²) = √((4k)² + m²)= √[(32/7)² + (16/7)²] = √(1024/49 + 256/49) = √(1280/49)= (√1280)/7 = (16√5)/7。
方法二：
把 x = 40/7 代入①和③：
4m + 3n = 160/7m + n = 48/7
解得：m = 16/7，n = 32/7
正方形边长：
a = DE = √(m² + n²) = √[(16/7)² + (32/7)²] = (16/7)√(1 + 4) = (16√5)/7
答案：边长 = 16√5 / 7
【第(4)问】点 G 移动 1 个单位长度时，点 E 移动 d 个单位长度，求 d
方法一：
（4）由前述关系，始终有 4k + m = 48/7。（由 7k + (7/4)m = 12 ⇒ 28k + 7m = 48 ⇒ 4k + m = 48/7）点 E 的位置（以 B 为原点，BC 为 x 轴）为 BE = 3k + m。点 G 的坐标满足：yG = 4k + m = 48/7，xG = 7k。
初始位置：D 与 B 重合时，k = 0，此时 m = 48/7，BE = 48/7，xG = 0。
停止位置：F 与 C 重合时，m = 0，由 4k + 0 = 48/7 得 k = 12/7，此时 BE = 3k = 36/7，xG = 7×(12/7) = 12。
点 E 移动的总路程 = |48/7 − 36/7| = 12/7。点 G 移动的总路程 = |12 − 0| = 12。路程比恒定，当点 G 移动 1 个单位长度时，点 E 移动d = (12/7) / 12 = 1/7。
方法二：
弦图视角： 补全弦图后，G 的水平位置由"差"决定。
G 的横坐标（以 B 为原点）= BE + EN - EM = x + n - m
由 4x = 4m + 3n 和 m + n = 48/7，消去 m、n：
x_G = x + n - m = x + (48/7 - m) - m = x + 48/7 - 2m
由 4x = 4m + 3n = 4m + 3(48/7 - m) = 144/7 + m，
得 m = 4x - 144/7。
代入：
x_G = x + 48/7 - 2(4x - 144/7) = x + 48/7 - 8x + 288/7 = -7x + 336/7 = -7x + 48
即：x_G = 48 - 7x
这是 线性关系！求导（初中说法：变化量比）：
Δx_G = -7·Δx |Δx| = (1/7)|Δx_G|
当 |Δx_G| = 1 时：|Δx| = 1/7
答案：d = 1/7
🎯 本质： G 与 E 的运动是"7倍反比"关系，这是弦图结构隐藏的线性密码。
🎬 视频
【模型揭示】
"我们先看第(1)问，求tan B。等腰三角形三线合一，秒出答案4/3。这个'345'三角比，是整道题的计算基础。"
"注意！当D滑动时，正方形在变形，但有一个东西不变——点G始终在一条平行于BC的直线上运动！"
【核心突破】
"关键在第(2)问。过D、F分别作BC的垂线，垂足为M、N。我们发现一对全等三角形：△DME ≌ △ENF。"
"为什么全等？因为∠EDM = ∠FEN（同角的余角相等），加上DE = EF，AAS全等。"
"更重要的是，我们得到一个定值：m + n = 48/7。这个定值，是破解后面所有问题的金钥匙！"
【代数运算】
"第(3)问就是代入计算。已知BD求BE，或者已知BE求边长，都是二元一次方程组的事儿。"
【总结】
"这道题的本质是'一线三垂直'模型嵌套在弦图结构中。记住：看到正方形在三角形里滑动，先作垂线构造全等，再找定值关系，最后用代数方法解决几何动点问题。"
📊 方法总结
🏷️ 拓展思考
如果把这道题改成"求正方形面积最大值"，你会做吗？
提示：边长 a² = m² + n²，在 m + n = 48/7 的约束下，当 m = n = 24/7 时，a² 取得最小值。最大值在边界处取得（F与C重合时）。
💬 互动话题
你在做这道题时，最容易卡在哪一步？
A. 第(1)问就算错了B. 看不出全等三角形C. 第(4)问找不到G与E的关系D. 计算总是出错
评论区留言，下期视频精讲你的痛点！
本文内容根据2026年河北中考回忆版整理，如有出入请以官方试卷为准。
