2025学年第二学期杭州市高二期末数学试卷及参考答案(附把关题详解)

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📌 本期干货速递：[2025学年第二学期杭州市高二期末数学] + 把关题解析

不说废话，直接上硬菜。

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• 完整原卷：[2025学年第二学期杭州市高二期末数学]（含官方参考答案）
• 独家深度解析： 针对试卷中的高频易错题及把关题（第 [8、11、14、19] 题），提供区别于官方答案的更优解法 / 一题多解 / 详细推导。

💡 核心考点提示：本套试卷在 [空间向量] 上的命题非常新颖，建议作为重点攻克对象。如果你在这些模块还有盲区，今天的解析一定能帮到你。

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试卷

解析

第8题

从如图所示的  方格表中随机选  个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的  个数之和为 ”的概率为（  ）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】 B

【解析】

从  方格表中随机选  个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，所有的选法总数为  种。

观察方格表中的数值，只有  个非零数：第  行第  列的 ，第  行第  列的 ，第  行第  列的 。 要使选中的  个数之和为 ，必须且只能选中第  行第  列的 ，并且不能选中任何为  的方格，即剩下的  个方格所对应的数值必须都是 。

选中第  行第  列的方格后，第  行和第  列的其余方格均不能再选。 剩下的  个方格需在第  行和第  列中选择。 总共有  种排列选法，对应的列坐标全排列分别为：、、、、、。 我们逐一验证这  种选法中是否避开了数字 （即不能选中第  行第  列和第  行第  列）：

1. 对应列 ：第  行为第  列（值为 ），不合题意；
2. 对应列 ：分别为 ，符合题意；
3. 对应列 ：分别为 ，符合题意；
4. 对应列 ：第  行为第  列（值为 ），不合题意；
5. 对应列 ：分别为 ，符合题意；
6. 对应列 ：包含了两个 ，不合题意。

满足条件的选法共有  种，因此所求概率为 。

第11题

在区块链中，常用椭圆曲线进行加密. 已知椭圆曲线 ，则（  ）

A. 曲线  关于  轴对称

B. 曲线  与  轴有两个交点

C. 曲线  上点  到  轴的最小距离不小于 

D. 曲线  上点  到原点的最小距离为 

【答案】 ACD

【解析】

对于 A 选项，将方程中的  替换为 ，方程  即  依然成立，故曲线关于  轴对称，A 正确；

对于 B 选项，令 ，得方程 。 设 ，则 。 当  和  时，， 单调递增； 当  时，， 单调递减。 函数的极小值为 。 由于极小值也大于 ，函数  的图象仅穿过  轴一次，即曲线与  轴只有一个交点，B 错误；

对于 C 选项，曲线上的点到  轴的距离为 。 由 B 选项的分析可知，当  时，内部函数  在  处取得最小值。 最小值为 。比较  与  的大小： 因为 ，所以 。 故距离的最小值 ，即最小距离不小于  成立，C 正确；

对于 D 选项，曲线上的点  到原点距离的平方为：

设 ，则 。 令 ，解得  或 。 根据导数符号变化可知， 在  处取得极大值，在  处取得极小值。 极大值 ；极小值 。 同时，定义域要求 。 时  满足要求；而在边界点（即与  轴交点处），由于 ，此时距离平方 。 故最小值为 ，开方得距离的最小值为 ，D 正确。

第14题

已知空间向量  满足 , 则 ,  的最小值为 .

【答案】

【解析】 方法一

 的几何意义是向量  的终点到向量  所确定平面的距离。 当投影向量  与平面内的基向量  和  均垂直时，该模长取得最小值。

即存在实数 ，使得  且 。 展开得方程组：

由已知条件，，，代入方程组得：

解此方程组，可得 。

此时的垂直向量为 。 由于 ，我们利用数量积计算其模长的平方：

代入已知数值 ：

所以其模长的最小值为 。

【解析】 方法二

要求  的最小值，可以先求其平方的最小值。 设 ，将其展开得：

由已知条件可知：

将上述数据代入展开式中：

接下来利用配方法求该二元二次多项式的最小值。 快一点的话，可以发现是对称的，那么最小值肯定在时取到等号，可以直接令得到结果。 正规的做法 我们将其视为关于  的二次函数进行配方：

展开并合并后面的项：

对分子的二次式关于  继续配方：

因为平方项恒非负，即  且 ， 所以当  且 ，即  时， 取得最小值 。

因此， 的最小值为 。

第19题

口袋中装有形状、大小完全相同的  只小球，其中红球  只、黄球  只. 现从口袋中有放回地取球，每次取出  球，取到红球得  分，取到黄球得  分.

(1) 在取球过程中，记事件“恰好得  分”的概率为 ， (i) 求 ； (ii) 求 ；

(2) 若共取球  次 ， 表示  次取球中取到红球的次数，记 . 求证：.

【答案】 (1) (i) ； (ii) ； (2) 见解析.

【解析】

(1) (i) 每次有放回取球，取到红球的概率为 ，取到黄球的概率为 。 “恰好得  分”作为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球，这两者互斥。 所以恰好得  分的概率为：

(ii) 在取球过程中，得不到  分只有一种可能：即恰好得到  分后，下一步取到了黄球得  分（从而直接跃过  分）。 因此有关系式：

即 。 变形可得：

又因为 ，且 。 所以数列  是以  为首项， 为公比的等比数列。

故 。

(2) 证明：共取球  次，每次取到红球的概率为 ，可知红球次数  服从二项分布 。 所以数学期望 。

由  的定义可知， 的取值为 。 求  的期望：

提取公因式 ：

利用组合数恒等式 ：

利用二项式定理展开  和  并将两式相加：

两式相加得：

所以 。 代回  表达式中：

则有：

因为 ，所以  且 （当且仅当  时取等号）。 故 。 即 ，原命题得证。