真题解析||2026年湖南中考数学压轴第24题解析(几何综合问题考察)

【2026年湖南省中考数学试题】

【2026年湖南省中考物理试题】

第24题

【问题背景】

如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点。如图2，作△XYZ，使得XY=AD，且当点P运动时，保持∠X=∠ABP，∠Y=∠DCP。

【动手操作】

将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方:

操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S；

操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP。

【问题解决】

(1)如图1，当∠BPC=80°时，∠APB+∠DPC=____°；

(2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明;

①△ASQ∽△BAP,②△DSQ∽△CDP；

(3)如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由；

(4)如图4，设AD=4，AB=3，当点P运动时，求PR+PD的最大值。

【解题思路】

   (1)根据平角定义求解即可；

  (2)选择①：根据平行线的性质得出∠ASQ= ∠BAP，结合∠QAS=∠ABP即可得证;选择②:根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出QS∥CD，根据平行线的性质得出∠QSD=∠PDC，结合∠QDS= ∠DCP即可得证；

  (3)根据(2)中: △ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，可得出AB•SQ=AP•AS，AB•SQ=DP•DS，则AP•AS=DP•DS，变形为AP•(AD－SD)=(AD－AP)•DS，则AP•AD－AP•SD=AD•DS－AP•DS，得出AP•AD=AD•DS，然后根据等式的性质即可得出结论；

  (4)根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等，得出DQ=AR，由图3中△DSQ∽△CDP，得出QD：PC=DS：CD，结合AP=DS，得出AR：PC=AP：CD，则可证明△ARP∽△CPD，设PD=x，则AP=4－x，根据相似三角形的性质求出PR=(4x－x²)÷3，则PR+PD=(4x－x²)÷3+x，然后根据二次函数的性质求解即可。

(1) 解:∵∠BPC=80°，

∴∠APB+ ∠DPC=180°－∠BPC=100°;

(2)解:选择①△ASQ∽△BAP，

证明：∵QS∥AB，

∴∠ASQ=∠BAP，

又∠QAS = ∠ABP，

:.△ASQ∽△BAP；

选择②△DSQ∽△CDP，

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴.AB∥CD，AB=CD，

又QS∥AB，

∴QS∥CD，

∴.∠QSD=∠PDC，

又∠QDS=∠DCP，

∴△DSQ∽△CDP；

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