【真题赏析】2026高考全国I卷第14题

unsetunset📝2026高考全国I卷·第14题unsetunset

设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项是公比为的等比数列，则的最大值为.

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unsetunset✅ 答案unsetunset

unsetunset🔍 解析unsetunset

【解法一】令，由题意得， 因此每个三项块和为.

设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以的余数讨论.

若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在.

若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以.

若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以.

综上，所以，即的最大值为.

【解法二】记前项和， 对，（做差得到每3个为一组的局部和）， 当时，，也满足， 故，.

第组三个数和记为三元组，则， 现在分析连续9项覆盖完整三元组的情况：

(1) 排除恰好覆盖3个完整三元组： 若9项恰好是，三个组的和为. 因为9项是公比的等比数列，三个组的和满足， 化简得，不存在，所以这种情况不可能存在.

(2) 分析包含两个连续完整三元组的情况： 9项最多跨3个三元组，必然包含2个连续完整三元组+两端的部分项，设两个连续完整三元组为.根据等比数列性质，两组和的比值就是：.要满足“两端都有部分项”，完整三元组不可能从第1组开始（前没有多余项）， 因此最小的，对应，.

【解法三】对，（做差得到每3个为一组的局部和）， 当时，，也满足故，.

对于中有某连续9项.显然具体某项是不可知的，但一些连续三项和是可以确定的.

若前三项确定，那么中间三项和与最后三项和也确定，且成公差为2的等差数列，故不可能成等比，于是这9项不可能成等比，与已知条件矛盾.

那么中间7项一定存在连续6项分两组是确定的，这6项开头项假设为，显然， 故，，

那么这6项的前3个和为，后三个和为.

故.

随增大而减小.因为，故， 所以.