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1 一、选择题
1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）
下列反常积分收敛的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
，故
，
所以该反常积分收敛。
（2）
函数 在 内（ ）
（A）连续
（B）有可去间断点
（C）有跳跃间断点
（D）有无穷间断点
**答案：**（B）
解析：
当 时，
。
因此 为可去间断点。
（3）
设函数
，，
若 在 处连续，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（A）
解析：
由 ，得 。
当 时，
。
若 在 处连续，则需 ，从而 。
（4）
设函数 在 内连续，其中二阶导数 的图形如图所示，则曲线 的拐点的个数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
由图像可知， 有两处变号，因此曲线 有 个拐点。
（5）
设函数 满足 ，则 与 依次是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
令 ，则 ，故
。
求偏导并代入 ，得
。
（6）
设 是第一象限由曲线 ， 与直线 ， 围成的平面区域，函数 在 上连续，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
极坐标下 ，且
。
因此
。
（7）
设矩阵 ，。若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
对增广矩阵作初等变换：
。
方程组有无穷多解需 ，故 。
（8）
设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则 在正交变换 下的标准形为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（A）
解析：
由题知
。
又 ，其中
。
所以
，
标准形为 。
2 二、填空题
9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
（9）
，则
答案：
解析：
，
。
代入 ，得 。
（10）
函数 在 处的 阶导数
答案：
解析：
由莱布尼茨公式，
。
（11）
设 连续，，若 ，则
答案：
解析：
。
由 ，得 。
又 ，故 。
（12）
设函数 是微分方程 的解，且在 处 取得极值 ，则
答案：
解析：
特征方程为 ，得 。
故 。由 ，解得 。
所以 。
（13）
若函数 由方程 确定，则
答案：
解析：
当 时，。对方程求偏导并代入 ，得
。
因此
。
（14）
若 阶矩阵 的特征值为 ，，其中 为 阶单位阵，则行列式
答案：
解析：
若 为 的特征值，则 为 的特征值。
对应 ，得 的特征值为 ，故
。
3 三、解答题
15～23 小题，共 94 分。
（15）（本题满分 10 分）
设函数 ，。若 与 在 时是等价无穷小，求 的值。
解析：
由
，
代入 ，并由 ，比较各阶系数，可得
。
（16）（本题满分 10 分）
设 ， 是由曲线段 及直线 ， 所围成的平面区域，， 分别表示 绕 轴与绕 轴旋转成旋转体的体积，若 ，求 的值。
解析：
由旋转体体积公式，
，
。
由 ，且 ，得
。
（17）（本题满分 11 分）
已知函数 满足 ，，，求 的极值。
解析：
由 ，对 积分得
。
由 ，得 。
再对 积分并利用 ，得
。
令 ，得驻点 。
又
，
故 且 ，所以 为极小值。
（18）（本题满分 10 分）
计算二重积分 ，其中 。
解析：
由于区域 关于 轴对称，，所以
。
于是
。
令 ，可得
。
故原积分为
。
（19）（本题满分 11 分）
已知函数 ，求 零点的个数。
解析：
求导得
。
故 为唯一驻点，且 在 上单调递减，在 上单调递增。
又可判断
。
因此 在 和 上各有一个零点，故零点个数为 。
（20）（本题满分 10 分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却， 后该物体降至 ，若要将该物体的温度继续降至 ，还需冷却多长时间？
解析：
设 时刻温度为 ，则
，
解得
。
由 ，得 ，于是
。
令 ，得 。已冷却 ，故还需冷却 。
（21）（本题满分 10 分）
已知函数 在区间 上具有 阶导数，，，。设 ，曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ，证明 。
解析：
切线方程为
。
令 ，得
。
因 且 ，所以 ，从而 。
由拉格朗日中值定理，存在 ，使
。
于是
。
又 ，故 ，所以 。
综上，。
（22）（本题满分 11 分）
设矩阵 且 。
（1）求 的值；
（2）若矩阵 满足 ， 为 阶单位阵，求 。
解析：
由 ，得 ，即 ，所以
。
原方程可化为
，
故
。
由 ，有
。
代入 计算得
。
（23）（本题满分 11 分）
设矩阵
相似于矩阵
。
（1）求 的值；
（2）求可逆矩阵 ，使 为对角阵。
解析：
由 ，得
。
解得
。
此时令 ，其中
。
的特征值为 ，对应 的特征值为 。
取对应特征向量
。
令
，
则
。