【命题趋势与难度分析】本篇收录 2006 年至 2013 年的真题，标志着考研数列极限进入了“综合与证明期”，难度较前期有显著的拉升。 这一阶段的绝对主角是“单调有界准则”。命题人不再满足于单纯的计算，而是频繁出解答题（满分往往在10-12分），要求考生不仅会算，还要会“证”。难点在于如何结合拉格朗日中值定理、导数工具或积分放缩法，去构造函数并证明数列的单调性与有界性。如果说前期是“算术”，这一阶段就是真正的“分析”。
6.【2006年，数一，12分】
设数列 满足 。
（Ⅰ）证明 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算 .
【技巧】：第一问：单调有界准则；第二问：归结原则转化为函数极限后泰勒展开。
【解答】： （Ⅰ）因 ，故 。由数学归纳法易知对一切 ，恒有 。 对于 ，恒有 ，因此 。 数列 单调递减且有下界 0，故极限存在。设 。 两边取极限得 ，解得 。即 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 且 ，则：
将其转化为连续函数的 型极限：
由 ，知指数极限为 。故原极限为 。
【答案】：（Ⅰ）证明略，极限为0；（Ⅱ）
7.【2008年，数四，4分】
设 ，则 （ ）
(A)a. (B) . (C)b. (D) .
【技巧】：提取主部法则（抓大头）。存在正数的 次方求和后开 次方，必须强行提出底数最大的项。
【解答】： 由于 ，则 ，即 是更大的项。将其提出：
因为 ，当 时，。 故 。因此极限为 即 。
【答案】：(B)
8.【2011年，数一，10分】
（Ⅰ）证明：对任意的正整数，都有 成立. （Ⅱ）设 （），证明数列 收敛.
【技巧】：积分放缩法与欧拉常数。用积分面积证明不等式，再以此判断级数的单调性。
【解答】： （Ⅰ）因为 。 由于被积函数 在区间 上严格单调递减，由积分性质可知：
即 ，得证。 （Ⅱ）考察数列的单调性，作差：
由（Ⅰ）结论知 ，故数列 单调递减。 证明其有界性：
由（Ⅰ）知 ，故 。 单调递减且有下界 0，由单调有界准则，数列 收敛。（此极限即著名的欧拉常数 ）。
9.【2013年，数二，10分】
设函数 （Ⅰ）求 的最小值. （Ⅱ）设数列 满足 。证明 存在，并求此极限。
【技巧】：利用函数的最值性质反推数列的单调性与有界性。
【解答】： （Ⅰ）。当 时 ； 时 。 故 为最小值点，最小值为 。即对一切 ，恒有 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知对任意项均有 。结合已知条件可得：
化简得 ，故 ，数列单调递增。 又因为 ，代入已知条件得 ，故 ，有上界。 设 。对已知不等式取极限得 。 但由（Ⅰ）知 ，故必有 ，解得 。
【答案】：（Ⅰ）最小值为1；（Ⅱ）证明略，极限为1。