2026年高考(河南)物理试卷压轴题2的解析修订,为昨天的疏忽抱歉!

昨天急匆匆做了改题目，结果第三问推导时，不小心算错了球壳和小球的质量比，导致后续的错误，特此修订。

题目描述 （第15题， 分值18）

直径为D=0.25m的空心球壳内放有一实心小球，不计球壳厚度，二者静置在水平面上时，球壳顶端与天花板间距离为h=6m，将其以初速度v0=11m/s竖直上抛，球壳与天花板发生碰撞后以原速率反弹，碰撞时间极短，经Dt=0.1s后与小球发生第一次碰撞。所有碰撞均为弹性碰撞，重力加速度g=10m/s^2，不计空气阻力。

(1)求小球直径;

(2)求球壳与小球发生碰撞后的速度差大小，及第一次与第二次碰撞的时间间隔;

(3)若球壳与小球发生第8次碰撞前的速度为6m/s，求球壳落地时的速度大小。

解答

(1) 小球直径 d(不修订）

取向上为正。球壳从地面上升到天花板：

h=v0t1−1/2gt1^2  ⇒  6=11t1−5t1^2  ⇒  t1=1s

此时球壳速度 vc=v0−gt1=1m/s（向上），小球速度相同。

与天花板碰撞后，球壳速度变为 vc′=−1m/s（向下），小球速度仍为 1m/s（向上）。经 Δt=0.1s 第一次内部碰撞前：

V=−1−gΔt=−2m/s, v=1−gΔt=0

相对速度大小 2m/s，相对位移为球壳内径 D−d：

D−d=2×0.1=0.2m⇒  d=0.25−0.2=0.05m

(2) 速度差及时间间隔(不修订）

弹性碰撞前后相对速度大小不变、方向相反。碰撞前相对速度 V−v=−2m/s，故碰撞后相对速度 =+2m/s，速度差大小为 2m/s。

相对运动匀速，从顶部到底部相对位移 D−d=0.2m：

Δt′=0.2/2=0.1s

(3) 落地速度（第8次碰撞前球壳速度 6m/s）(修订）

设质量比 r=M/m。第一次内部碰撞（顶部）前，球壳速度 −2m/s，小球速度 0。碰撞后瞬间速度由动量守恒和相对速度反向得：

V1=2(1−r)/(1+r),v1=−4r/(1+r)

从第一次碰撞后（t=1.1s）到第8次碰撞前（t=1.1+0.7=1.8st=1.1+0.7=1.8s），质心速度

vcm,8= (MV1+mv1)/ (M+m) −g⋅0.7=−2r/(1+r)−7

第8次碰撞在底部，碰撞前相对速度 V8−v8=+2，且质心速度也可表示为：

vcm,8= (MV8+mv8)/ (M+m)=V8-2/(1+r)

带入V8=-6,联立解得 r=1/3（即 m=3M）。

第一次内部碰撞后, 质心初速度 vcm0=−0.5m/s，质心初高度 ycm0=6.05m。落地时球壳球心高度 yc=0.125m，小球相对偏移 δ=yb−yc∈[−0.1,0.1]，质心高度 ycm=yc+3/4δ=0.125+0.75/δ。

这里需要考虑球壳下降过程中碰撞次数，可以得到总距离不够12次碰撞。第11次碰撞（顶部，t=2.1s）后 δ=0.1，相对速度 +2，经 τ 秒落地，δ=0.1−2τ，故

ycm=0.125+3/4(0.1−2τ)=0.2−1.5τ

从自由落体来看质心运动，从第一次碰撞后到落地的时间 T=1.0+τ（τ<0.1），此时第11次碰撞（顶部）刚过，δ=0.1−2τ。质心运动：

ycm=6.05-5−0.5(1.0+τ)-5(1.0+τ)^2=0.55−10.5τ−5τ^2

令其等于 0.2−1.5τ, 得：

解得 τ=[sqrt(88)−9]/10s。落地时质心速度

vcm=−0.5−10(1+τ)=−10.5−10τ=−10.5−(−9+sqrt(88))=−1.5−sqrt(88)。

由相对速度 V−v=+2 及质心速度 vcm=V−1.5，得球壳速度：

V=− sqrt(88)m/s

落地速度大小为 sqrt(88)m/s。

考察知识点及关联性

关联性：本题将竖直上抛、弹性碰撞、相对运动、质心运动等多个概念有机结合。关键点在于：

·球壳与天花板碰撞使系统获得初始相对速度；

·弹性碰撞保证相对速度大小恒定，从而简化了后续运动为等时往复；

·质心运动只受重力，且已知时刻的质心速度可反推质量比；

·最后通过质心与相对运动的合成求落地速度。

学习建议

1.强化相对运动思想：当两物体加速度相同时，相对运动为匀速，这极大简化了分析。本题中，小球与球壳在重力场中相对加速度为零，是解题的钥匙。

2.熟练掌握弹性碰撞的结论：对于任意质量的两物体，弹性碰撞前后相对速度大小不变、方向相反。这一结论无需记忆公式，可直接应用于速度差计算。

3.善用质心参考系：质心运动仅由外力决定，内力不改变质心速度。本题中，天花板碰撞是外力，导致质心速度突变；而球壳与小球间的碰撞是内力，不影响质心运动。理解这一点才能正确分段处理。

4.注意运动过程的阶段划分：从开始到天花板碰撞、碰撞后到第一次内部碰撞、后续多次碰撞，每个阶段初始条件不同，需仔细列出。

5.数学工具的灵活运用：求解落地时间时，需联立质心运动方程与相对运动方程，涉及二次方程求解。平时应加强代数运算能力，尤其是含根号的精确表达。

6.培养物理建模能力：将实际情景（球壳内小球运动）抽象为“一维往复运动+质心抛物运动”的模型，是解决此类复杂问题的核心。

通过本题，可以深刻理解重力场中多体弹性碰撞系统的运动规律，掌握相对运动、质心运动、能量守恒等综合应用，对提升物理思维和解题能力大有裨益。