西安电子科技大学超绝高代考研真题解答!-堪称经典中的经典!

前言

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今天我们来看一道西电考研考过的高代经典真题，这道题目在当时的难度还是比较大的哈，但是放到现在来看，确实就是一道相对比较基础的题目了。

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一道题目涉及很多基础的概念，所以大家还是要重视对概念的理解哈！不然做题是寸步难行的哦！

西安电子科技大学高等代数考研真题

题目

设  是  阶矩阵， 的特征多项式为

 的最小多项式为

 求  的所有不变因子；

 写出  的  标准形。

分析

由特征多项式与最小多项式的次数和根的结构，可确定最高次不变因子即为最小多项式；再根据所有不变因子的乘积等于特征多项式，以及相邻不变因子之间的整除关系，通过比较次数与因子幂次，逐步推出其余不变因子，进而得到初等因子与  标准形。

解析

 设  为  的不变因子，它们都是首一多项式，满足

以及

于是

因为 ，可设

其中  为非负整数，且由整除性有

由  式， 不含因子 ，故 .

下面考察  与 .

由于 ， 中必含有乘积中出现的所有不可约因子，否则整除关系会导致矛盾。具体地，若 ，则  的因子只能出现在  中，但 ，迫使  也含有 ，矛盾，因此 . 同理 .

另一方面，由  式左边乘积中  的总次数为 ，而  贡献  次， 的次数非负，故 ；同理 . 于是

从而

代入  得

由整除关系及首一性，所有  为非常数的首一多项式，现在乘积为 ，故必有

因此  的所有不变因子为

 将各非常数不变因子分解为一次因式的方幂的乘积，有

由此得到  的初等因子（所有一次因式的方幂）为

每个初等因子  对应一个  阶  块 ，因此  的  标准形为

即

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注：本题中特征多项式与最小多项式的根完全相同！