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一、选择题
（1）
若
则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： B
解析： 令
原极限为 ，故
分子需先消去一次项，得 ，所以 。再由二次项系数
得 。
（2）
下列函数中，在 处不可导的是
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： D
解析： 由导数定义，
A、B、C 三项的差商极限均为 ；而 D 项
左右极限不等，故不可导。
（3）
设
若 在 上连续，则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： D
解析： 有
在 处连续：，得 ；在 处连续：，得 。
（4）
设函数 在 上二阶可导，且
则
（A）当 时，
（B）当 时，
（C）当 时，
（D）当 时，
答案： D
解析： A、C 可分别用 、 排除。若 ，则图像在切线之上：
在 上积分得
故选 D。
（5）
设
则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： C
解析： 因
其中 为奇函数，故 。又 ，得 ；且 ，得 。因此
（6）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： C
解析： 区域关于 轴对称， 关于 为奇函数，其积分为 。故原式为
（7）
下列矩阵中，与矩阵
相似的是
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： A
解析： 取
直接计算得
故选 A。
（8）
设 为 阶矩阵，记 为矩阵 的秩， 表示分块矩阵，则
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： A
解析： 因
且 ，所以
B、C、D 均可由简单反例排除，故选 A。
二、填空题
（9）
答案：
解析： 由拉格朗日中值定理，存在 ，使
故原式为
（10）
曲线
在其拐点处的切线方程是
答案：
解析： 有
令 得 ，拐点为 。又 ，故切线为
即 。
（11）
答案：
解析： 因
所以
（12）
曲线
在 对应点处的曲率为
答案：
解析： 有
当 时，
故曲率
（13）
设函数 由方程
确定，则
答案：
解析： 当 时，。令
则
代入 ，得 。
（14）
设 为 阶矩阵， 为线性无关的向量组。若
则
答案：
解析： 令
由题意，
故
三、解答题
（15）
求不定积分
解析： 分部积分，取
则
因此
令 ，则
故
（16）
已知连续函数 满足
（1）求 ；
（2）若 在区间 上的平均值为 ，求 的值。
解析： 第二个积分令 ，得
两边求导：
设 ，则
解得
所以
平均值为 ，即
于是
故
（17）
设平面区域 由曲线
与 轴围成，计算二重积分
解析： 设曲线为 ，则
代入
得
计算可得
（18）
已知常数 。证明：
解析： 令
则
当 时，，故
于是 ，所以 。此时 ，结论成立。
当 时， 在 递减、在 递增，故
于是 ，所以 。此时 ，结论也成立。
综上，原不等式成立。
（19）
将长为 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。问：三个图形的面积和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
解析： 设圆、正三角形、正方形所用长度分别为 ，则
总面积为
用拉格朗日乘数法：
解得
代回得最小值
因此最小值存在。
（20）
已知曲线
点 ，点 。设 是 上的动点， 是直线 与直线 及曲线 所围成图形的面积。若 运动到点 时沿 轴正向的速度是 ，求此时 关于时间 的变化率。
解析： 设
所求面积为
因此
当 时，
故此时变化率为
（21）
设数列 满足：
证明 收敛，并求
解析： 由 时 ，若 ，则
故 以 为下界。又由中值定理，
因此
所以 单调递减且有下界，故收敛。设极限为 ，则
解得
（22）
设实二次型
其中 是参数。
（1）求 的解；
（2）求 的规范形。
解析： 因 为三个平方和， 等价于
其系数矩阵可化为
所以：
- 当 时，只有零解；
- 当 时，
对规范形，令
当 时，变换可逆，规范形为
当 时，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为
（23）
已知 是常数，且矩阵
可经初等列变换化为矩阵
（1）求 ；
（2）求满足 的可逆矩阵 。
解析： 初等列变换不改变秩，故
化简得
因此 ，即
当 时，解矩阵方程 ，由增广矩阵化简得
其行列式为
故当 时， 可逆。因此可取
