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编者按：
本系列预计每周发布1期中考数学压轴题的解析与点评。内容以服务长沙地区的考生为主，其他地区也可参考。题目选择按真题优先、长沙和其他教育发达省份题目优先、时间靠近优先的原则选取。
每题具体展开内容包括详细解析、思路分析和试题点评三个模块。再配合视频讲解，透过题目全方位挖掘解题需要掌握的知识、方法、思路和数学思想的各层次内容。切记做题不是目的，掌握做题的能力才是真正的目标。
如对内容有疑问或问题，欢迎留言、批评和指正。
往期回顾
从本期开始的连续三期，准备讲解2016-2020长沙中考卷中的小压轴（并无明确定义，总之是有一定思维难度的非最后两题位置的题）。之所以暂时不再往前追溯真压轴题，一来太早的真压轴参考性有限，而且大多考点在近6年的压轴题中早就出现过不止一回，已经足够覆盖了；二来在2021年和以后，长沙卷就再也没有填空选择的小压轴，以及倒数第3题的位置也几乎没有思维难度了，但往年的这些小压轴的思维方式仍然值得借鉴，在大压轴中也反复出现；至于其他发达省份的题目，我们到今年中考结束后看看湖南省考的方向，再来选讲了。
长沙.2020.16
原题：
图1 中考数学-长沙-2020-小压轴16题
详细解析：
视频1 中考数学-长沙-2020-小压轴16题解析
图2 中考数学-长沙-2020-小压轴16题解析
思路分析：
1. 从填空题角度，因为两个比值都是一条边上共线点组成的局部距离和总体长度的比，加上角平分线定理带来的直角边和斜边的比的关系，也可以先通过肉眼看，就能定性分析或猜出两个比值分别在0.5上下，因此和极有可能就是1。另外也可以通过把P放在半圆的三等分点上构造可解的30°和60°直角三角形里特殊求解，但45放正中间或者直径端点M或N上并不可取。
解析的方法，则是先通过角平分线定理和和比定理把边的比转化到含射影结构的Rt△MNP上来，此时发现式子中反复出现PN，变量只有3个，有消元的趋势，形式也很规整，很有利。接着提取公因式PN，再通分作分式加法，发现了QN * MN，刚好又用射影定理后可约分，最后得常量1。
2. 依射影定理，PM = QN。这是一个射影三角形中两条结构边的比例关系，可给定该直角三角形的最后一个形状自由度。因此，通过勾股和射影相似关系，设一条边为单位长度1和一条边的变量a，用好等量比例关系即可用方程解得。
试题点评：
这个级别的难度出现在填空压轴题，还是对得起长沙独立命题的中考小压轴水平的。第1问有典型的小题做法，即小题是专门考察一部分非严谨数学推理的猜想和估计能力的，能定性猜准答案就算成，这本就是核心数学能力之一。这和严谨推理能力至少同等重要，在真的生活中就更重要了。至于严谨的计算，考到了射影三角形和角平分线定理，剩余的代数计算则只要耐心和细致观察，方向还是很明确的。2问先过射影定理关，剩下的就是个明显确定的解射影直角三角形问题。用好等量关系，先判断出形状可解，放心地解就是了。
长沙.2020.23
原题：
图3 中考数学-长沙-2020-小压轴23题
详细解析：
视频2 中考数学-长沙-2020-小压轴23题解析
图4 中考数学-长沙-2020-小压轴23题解析
思路分析：
1. 一线三垂直，通过互余关系倒出角相等构造出直角三角形相似。
2. 经典矩形折叠对称问题，找到折叠带来的全等三角形的边角相等关系，加上折点在线上带来的直角三角形的勾股定理和一线三垂直的相似关系基本就能解了。其中典型的直角三角形的求解结构是已知其中一条直角边，斜边和另外一条直角边的和刚好是原边长之定值，只剩一个未知数，自然可解。
3. 首先确定除了长方形的长宽比的形状性质外，折叠本身是约束死的从动点（拿纸折一下便知）。因此，题设给的齐次的一次条件，一定能把长方形的边长比算出来，而对于大小完全不涉及。即能给定长方形形状，但也一定给不出具体的尺寸。接下来，再确认要求tan值的本就是边长比，也不需要求具体尺寸，题目条件和结论都关于图形大小对称，因此可以放心地设边长AB = 1。另外，这个折叠图本身是个经典的求tan(a + b)的几何结构，就算不知道也可以用三角函数表达出tana + tanb = BC，彻底做实了就是要求边长而已。
但题设的边长关系并不好直接用，因此还要用方程思想求解。先设一个关键变量比如DE = x，再用勾股加相似表达出其余尽量多的边长。接着用上条件后，再用算两次思想得出冗余方程，解之即可。
试题点评：
这个位置出现一个看起来只是常规硬算，实际还需要一点数学本质理解的题，又不算达到压轴难度，但还算有一定区分度，算是非常合适的选择了。前2问就是最基础的长方形折叠对称背景的相似和勾股定理的考察。而第3问的难点首先在于判断形状可解性的同时，解析地摸清图中边长的依赖关系，进而表达出tana + tanb的值BC。接着就用方程思想用好已知条件，用算两次思想得到方程并求解即为所求。
此题虽然是大题，但给人一种小而美的感觉，哪怕作为从学业水平到选拔人才的难度过渡题，也是非常恰到好处的。
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