祝各位考生高考顺利！考出理想水平！

整体评价

作为某种程度上的一个新的起点，2026年这一份新一卷真的给了我足够多的惊喜。总的来说，这张试卷给我的感受就是："重基础、强思维"！

难度上，应该是新高考中最难的一套试卷，但在考查重心上有一些值得注意的变化。

试卷前半部分还是比较轻松的，不至于给大多数同学一上来就能窥见的压迫感。从中间部分开始，题目就开始明显要吃思维能力了。如果你把选择填空题当解答题来硬算，就会大量浪费时间；但是对于那些能够从题目结构中挖掘巧妙切入点的聪明同学来说，这绝对是奖励关卡。我们在考前讲了那么多次的新情景与探究问题。这一回终于在 6,7,8,11,13,14,19 得到了淋漓尽致的呈现。

解答题部分，前面的立体几何，解三角形，概率题和解析几何其实都属于属于常规题型，并没有太多的计算量，而且也不需要搬出各种二级结论。这一次的抽象函数压轴，不涉及高深的数学知识，但逻辑推理的链条很长，需要很强的分析思维和严密推理能力。

关于备考

现在对于概率板块的考察方式相比于过去更加注重概率统计本身的基础要点，而不是仅仅只算一些重复简单的计算题了。

从上面考试院的文章中我们能发现：现在整体的考察方向是越来越 “轻复杂计算，重分析思维” 的。

并且对于整张卷子来说，现在可以发现，在选填问题中根据过去总结的一些题型结论想直接秒杀各类问题的情形，几乎已经没办法看到了。

反对机械死刷题已经是必然趋势。现在更为注重的是对于教材基本知识定义的掌握，课后习题的熟练情况。

同时，根据高考每年的命题对于第二年模拟题的影响来看，接下来一年将引来大分析时代，各类抽象的性质和条件将轮番在考生们的19题登场，甚至能够猜想到会出现一些完全无法找到函数满足的条件，也会出成模拟题。北京，上海的模拟题和真题，甚至是一些竞赛相关的题。肯定也会迎来重度改编。

对于未来高考的同学们来说，不管模拟题怎么样，一定要记住：不断锻炼自己在未来学习过程中，对于基础定义叙述的能力和用严谨地数学语言表述的能力。一些常见的性质和结论不仅要能完整的用数学语言表述，最好还要能给出它们的逆否命题，并尝试能否找到其逆命题或否命题的反例。

遇到新的问题，多多尝试举例，并且用我们所学过的数学知识对这个新的问题给出自己的“翻译”，这就是应对新定义问题最好的训练方式。

单项选择题

1. 样本数据  的中位数为（）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】B

【解答】 将数据从小到大排列：，共  个数，中位数为第  个数，即 .

【说明】无，送分题

2. 已知平面向量  不共线，且 ，则（）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】A

【解答】 整理得 .

因  不共线（线性无关），故系数必须全为零：

【说明】考前我们就提到了课标修订中有涉及到平面向量基本定理的内容：

3. 已知集合 ，，则 （）

A.  B.  C.  D. 

【答案】C

【解答】 计算集合  中各元素：

故 ，.

因此 .

【说明】简单的三角函数化简问题，也算送分题.

4. 曲线  在点  处的切线方程为（）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】D

【解答】 求导得 .

在点  处，切线斜率 .

切线方程为 ，即 .

5. 已知抛物线  和  均经过点 ，则  的焦点与  的焦点之间的距离为（）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】D

【解答】 将点  代入 ，得 ，故 . 故  的焦点为 .

将点  代入 ，得 ，故 . 故  的焦点为 .

两焦点间距离为：

【说明】务必记得交点的坐标表达式，每年都会有同学因为忘记是  , 少除以了  而失分.

6. 已知函数  的最大值为 ，则 （）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】B

【解答】 由最大值的定义，相当于：

① ，，即 .

② 存在  使得 .

再根据最小值的定义，函数  的最小值为 .

令 ，求导得 . 令 ，得 .

当  时，， 单调递减；当  时，， 单调递增.

故  在  处取得最小值 .

由最小值为 ，得 ，即 .

验证：当  时，，，符合题意.

【说明】逃课做法：根据 ，当且仅当  时取到等号. 此时，且在  时等号取得，故考虑此时应有  ，瞪出 .

7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑布局和深处的历史文化闻名遐迩，该塔群共有  座塔，依山势自上而下排成  行，将第  行中塔的座数记为 ，其中 ，；，且  是一个首项为 ，公差为  的等差数列，将  分为  组，每组  个数，使得每组的  个数之和可构成一个项数为  且公差为  的等差数列，则 （）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】B

【解答】 由题意，各塔座数为：,

.

总和为 （当然这里后半部分用等差数列求和也行）.

设  组和分别为 ，则：.

当 ，得 ，即 .

六组和为 ，可如下配对：

恰好用完所有  个数，故 .

若 ，得 ，即 ，且剩余的每一组的和均为奇数.

此时对于全部为奇数的 , 仅无法找到这样的分组方式，故排除.

若 ，得 , 即 ，且剩余的每一组的和均为奇数, 排除.

若 ，得 , 即 ，最小的一组数之和为负数, 排除.

【说明】本题应该是单选题里真正最难的问题。这个题在考场上做的话优先应该是排除而非是尝试给出构造，这样会省事不少. 如果想尝试把这个问题里的这一组配对给配对出来，也得花个至少半分钟. 所以选择题还是应该用选择的方法来写，多给后面的问题节省时间。

8. 设  为空间中  个点构成的集合，点 ，记样本空间 . 从  中随机取一个点，定义随机变量  如下：对  中的每个点 ，令 ，则  的数学期望为（）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】A

【解答】 设 . 由期望的可加性，

考虑  在样本空间  上的取值. 在  中， 取每个值  的次数均为  次.

点  的 ，故在  中： 仅出现  次；而  各出现  次

因此 

当然，如果注意到了对于在样本空间  上定义的  的取值情形为 ，且每一种取值的情况是一致的，因此这个题能立马发现 .

由对称性，.

故 

【说明】对于这个问题来说，它不像我们之前那些概率题，需要找一些计算公式，更多的需要注意我们这一个题样本空间里样本点的选取情况. 一旦这个题能注意到在  上的期望为零，那么这个题就已经可以排除 C、D 选项了. 剩下对于A, B选项的判断则来源于是否注意到了  是相加的情况，可能会忘记乘以 . 这个题即使直接计数也没有那么麻烦，相当于是给大家多种解题路径了.

多项选择题

9. 设 ，则（）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】ACD

【解答】 A. ，正确.

B. ，错误.

C. ，正确.

D. ，正确.

【说明】简单的复数问题，基本概念不要搞错.

10. 在空间中， 为两个定点，动点  到直线  的距离为 ，动点  到直线  的距离为 ，若二面角  为 ，则（）

A. 

B. 

C. 当  时， 平面 

D. 当  平面  时，

【答案】BC

【解答】

在空间中先尝试构造一组特例，即直线  垂直于面  时, 且此时点  在面  上的投影为点 .

A. 先看上面的特例, 此时 , , 二面角  的平面角为 , 此时为最大角（考场上做题时可以直接考虑点  趋于无穷时，此时角度会趋于零）, 故 A 错误.

B. 因为点  只能在平面  上 , 而所有的点 , 点  到直线  的距离为定值, 现在考虑  不与直线   垂直的情形 , 则 ；而垂直的情形时, 有 , 正确.

C. 当  时, 即符合我们最初的特例, 此时二面角  的平面角为 , 故 . 又 , 故  平面 ，正确.

D. 当  平面  时, 即符合我们最初的特例,  且 , 但此时只有 , , 错误.

【说明】作为立体几何题来说，感觉这个题还是比较放水的。感觉唯一难的点可能就是对于A选项的判断. 不少同学不一定同时能将二面角和这个图里定距离相结合，而给无法给出比较好的样例图。只要有一个大致的图像，这个题就能够做完了。

11. 已知圆 ，圆 ，圆 ，直线  与  均有两个交点，记  被  截得的弦长分别为 ，则

A.  可以取任意实数

B. 满足  的直线  共有  条

C. 满足  的直线  多于  条

D. 当  时， 的最大值为 

【答案】BCD

【解答】

先画一个与三个圆都有两交点的情况，只需要让 , 且  即可.

三圆圆心分别为 ，，，半径均为 . 三圆心构成边长为  的正三角形，且三圆两两外切。

弦长 ，其中  为圆心  到直线  的距离。直线与三圆均有两个交点.

A 选项：考虑 ，，设直线 , .

我们会发现直线  过  以及 圆  圆的切点；直线  过  以及 圆  圆的切点.

对于所有  的直线 ，它们（如果不与  重合）则必然在  的一侧，故而最多与两个圆有两个交点.

因此 A 错误.

B 选项：

, 即直线  到正三角形  三个顶点的距离相等。

先考虑 ： 且过  与（ 中点） 的中点 , .

此时 ，满足题意.

接下来根据对称性,可以继续仿照上述例子，作 且过  与  中点的中点；

以及 且过  与  中点的中点。

故共有  条，B 正确。

C 选项：不妨考虑 ，此时直线 .

计算有 ，, 此时 . 此时 ，.

有 .

令 ，即

对两侧进行平方，整理得 .

再平方得 ，即 .

解得  或 , 均满足 ，故至少有  条直线满足条件，C 正确。

D 选项：当  时，. 仍有 .

令 ，则 , 有 .

再令 ，则 .

因 ，故 , 当  即 .

此时 ，，满足条件.

故 ，D 正确。

【说明】这个题我给到夯的评价，第一眼看到这个题，我甚至感觉有一些线上联考卷的感觉。

这个题的A选项的思考其实可以从过去一些双曲线的焦点问题里延伸出来。如果这个题发现了等边三角形或者是刚好有两圆相切的切点能够穿过去，那么不难发现，这个结论是无法成立的。对于B选项，我给的方法是构造的形式，也比较快速。

这个题目难的部分就在于C,D选项，许多同学不会将这个  经过  再通过点到直线距离进行转化. 对于C选项来说，我们甚至可以利用B选项距离相等的例子做试探，此时正好有  因此只要稍微考虑调整的话，会发现  的直线条数对于单个固定斜率的情况来说就不止一条，考试时如果能注意到这一条c选项，其实就可以直接过掉了，无需解方程。

填空题

12. 双曲线  的离心率为.

【答案】

【解答】 化为标准形式：.

故 ，. .

离心率 .

【说明】千万记得双曲线里是 , 在椭圆里才是 . 然后就是今年听到许多同学说算出来这个答案不敢选，因为跟过去相比丑陋了不少。出现了三个6，但是大家只要过程是对的，考试哪怕结果因为一些质因数而进行有理化，导致起来看上去复杂，也要大胆放心的填。

13. 已知  是偶函数， 在区间  单调递增，则 ，.

【答案】；

【解答】 为偶函数，故 ，即：

展开得 .

故  对所有  成立，因此 . 由 ，得  或 .

当  时， 在  单调递增，而在  上必然有  单调递减，故矛盾.

因此必有 .

此时 , 为保证  在  单调递增，则 , 解得  或 .

当  时, .

当  时, .

【说明】这个题目我觉得整的挺好。相比于过去的那些三角函数来说，这个题更需要关心首先分类，排除一个，接着当我们剩下四个不同的  时，会有同学产生疑惑，因为我们没有办法去进一步否定剩下  的取值了，但是这个时候倘若我们带入自变量的值，我们会发现柳暗花明又一村，所有的函数值居然全部一致。还是挺有意思的。

14. 设实数  满足：存在数列 ，使得对于任意 ，均有 ，且  中有某连续  项  是公比为  的等比数列，则  的最大值为.

【答案】 或 

【解答】 由 ，我们可以得到相邻三项的和：

我们想要利用已知的条件式，就必须要根据下标凑出一组 ，每组  项之和为 .

而连续  项  中一定至少必包含两组 （其中 ）.

因为  项是公比为  的等比数列，故任意连续  项之和也成等比数列，公比为 .

现在我们取两组连续  项之比，有：

为了找到  的最大值，只需找到能符合题意最小的  值即可.

若 ，则 , , , 此时 , 矛盾.

则 , 此时 .

此时可以取  为等比数列，则这  项中已知两组  的和.

令, 解得 .

再根据  , 解得 .

故可取 （），其余项任意取值满足条件即可.

故  的最大值为 .

【说明】本题相比于过去套路化的数列题来说，这个题相当有难度。这个题最重要的首先是根据题设条件，把相邻的一组数的求和给表示出来，接下来的关键是在于在我们连续的九项里面如何找到这样两组数？因为我们表示等比数列的公比需要依赖于对应项的比值，而我们获得项的值只能依赖于刚才的条件。结合这两条，我们才会去思考怎么样来定这样两组三个相邻项的范围。

这个题如果你否定了初始的从1开始的三三项分组形式的话，那么对于我们这里的情形，作为填空题来说是很容易猜到结果的，但是要给出完整的构造严谨的说明，在初始的解答过程中还是较为麻烦的。

老高考也出过类似的问题，不妨练一练！

解答题

15. (13分) 如图，在直三棱柱  中，，， 分别为  的中点.

(1) 证明： 平面 ；

(2) 设 ，直线  与平面  所成的角为 ，求直线  到平面  的距离.

【解答】 (1) 取  中点 ，连接 .

因  分别为  中点，故 . 因  分别为  中点，故 .

又 ，，且  平面 ;  平面 .

故平面  平面 . 因  平面 ，故  平面 .

(2) 因为直三棱柱 ，故  平面 .

而  平面 , 则 . 又 ，，，故  平面 .

由 (1) 知 ，故  平面 .

又  平面 ，, 则 .

故  为直线  与平面  所成的角，即 .

则在  中，. 因 ，故 .

又 ，故 . 由  得 .

由 (1) 知平面  平面 ，故直线  到平面  的距离等于点  到平面  的距离.

因 ，，故  平面 .

故距离为 .

【说明】这个立体几何题还是较为基础，甚至今年的这个题一点可以完全不建系求解。中规中矩吧。

16. (15分) 已知在  中，，，.

(1) 求 ；

(2) 设  两点满足： 在  的延长线上，，. 若 ，求 .

【答案】(1) ；(2) .

【解答】

(1) 由余弦定理：.

解得 ，即 .

因 ，故  为等腰三角形，.

(2) 因  在  延长线上，且 ，故 . 因 ，故 .

又 ，故 .

在  中，由正弦定理：, 即 .

由 (1) 知 ，.

代入得：.

在  中，由勾股定理，.

【说明】这个题最关键的部分，我认为反而是在画图上。初始的问题并没有给任何的图像，这个题只要你把图像正确描述出来了，然后能找到对应的角度，那么这个题就简单了。这个题求解路径也不少，甚至还可以建系来做，也简单。

17. (15分) 设整数 ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮  次。当且仅当投中 1 次时或  次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立。记  为停止练习时该同学的投篮次数。

(1) 当 ， 时，求  的分布列；

(2) 设  均为自然数。

(i) 当  时，求 ；

(ii) 当  时，证明：.

【解答】 (1)  的可能取值为 . 根据投篮次数的情况可以列出表达式： ，其中 . 计算得：

.

.

.

（此时 4 次均未投中）.

分布列为：

(2)(i) 事件  表示前  次投篮均未投中.

因各次投篮相互独立，故 .

(ii) 由条件概率公式：.

由 (i) 知 ，.

故.

得证.

【说明】这个题随机变量  所服从的分布实际上是几何分布。本题第二问的第一小问让我们推导了 , 立即在下一小问里，让我们来尝试证明几何分布的无记忆性。这个题我认为最关键的地方反而是要写好这个条件概率，但是这两天我还碰到好几个同学说这里没有想到怎么用条件概率，感觉基础准备还是任重道远。从计算角度上来说，我认为这个题反而是所有大题里最简单的。

苏教版的课后习题里的几何分布：

高考前，兮兮的讲义里还特别对于条件概率以及独立性做出了强调：

18. (17分) 已知椭圆  的左焦点为 ，离心率为 .

(1) 求  的方程；

(2) 设  为坐标原点，过  且斜率大于  的动直线  与  交于  两点，其中  在第三象限，直线  与  的另一个交点为 .

(i) 若  的面积是  的面积的  倍，求  的方程；

(ii) 求  的最小值.

【解答】

(1) 由题意，，. 故 .

故  的方程为 .

(2)(i) 由面积比：

因  与  关于原点对称，故 . 有 

即  为  的一个三等分点，.

设 ，，则 .

设直线 （），代入椭圆方程有：

由韦达定理：. 

代入得：

解得 ，因 ，故 . 直线  的方程为 .

(ii) 设 ，直线  的倾斜角为 .

则 ，故 

又  与  关于原点对称，，, 而 

因  在椭圆上，，故 .

有 

故 

由均值不等式：，等号当且仅当  时取得.

故  的最小值为 .

【说明】今年的圆锥曲线题怎么说呢？值得高兴的一点在于没有考察定点定值问题，第二问考察了两个大家较为常见的表示转化。首先是这个面积的表示，因为我们在题目里明显的能够发现这两个三角形中间夹角一致，因此面积比可以转化为边之比。我们得到了  点是焦点弦的三等分点这一结论。那么接下来要求直线的方程。仅只需要从这个三等分点的坐标来得到两点之间的坐标关系，通过韦达定理解方程即可。

对了，如果是学习过《高中数学培优手记》的同学，可能还会发现这个方程甚至能口算：

由 . 根据圆锥曲线焦点弦性质公式： 代入  得：

故 

因直线  斜率大于 ，故 . 故直线 方程为：

对于最后一小问来说，则是我们常见的夹角公式转化，只不过需要求最小值时，我们还需要用到椭圆第三定义中两条直线的斜率积为定值这一条件，不过这都算基础知识了。

关于夹角公式，新版《高中数学培优手记》正好补充了：

19. (17分) 已知函数  的定义域为 ，且当  时，。对任意 ，定义集合 。

(1) 若当  时，，求 。

(2) 若  是奇函数，，且 ，证明：。

(3) 若  满足：①若 ，则 ；②当  时，。

(i) 证明：；

(ii) 证明： 在区间  单调递增。

【解答】 (1) 由题意，. .

当  时，，即 .

当  时，，即 .

故 .

.

(2) 因  是奇函数，且在  上有定义，故 ，且  时 .

对  ，.

又需 （否则 ），故 .

因此 .

对  ，.

或  时， 恒成立（因左边 ，右边 ），故 .

因此 .

当  时，.

当  时，.

当  时，.

综上，有 .

(3)(i) 用反证法。假设 .

取 ，使 . 由  及条件①，得 .

取 ，则 .

因  在  上递增，故 .

即 ，故 ，即 .

但 ，由条件②知，应有，故我们得到了矛盾.

故假设不成立，.

还可以给一个不用反证法的证明方法：

对任意 ，取 . 则 ，且 .

故 . 即 .

由条件②，. 而 .

故  对任意  成立.

故 .

(ii) 整个问题想直接解决会很棘手，因此我们会先考虑进行一些试探，然后将其拆分为几个小环节，然后逐步解决（本解答有参考皓老师的文章2026全国I卷数学全解析与评价，决战新高考质量之巅?）。

【分析1】 要证  在  递增，即证 ，有 .

由条件①，若存在  使  且 ，则 .

取 ，则 ，故 ，即 .

此时 ，但我们需要 ，考虑到  的任意性，故而当  则自然成立。故我们需要证明 .

鉴于(i)中我们对  上的  性质较为熟悉，因此接下来可以考虑先证明在  上，有.

解答第一部分： 证明对 ，.

使用反证法。假设存在  使 . 取 ，使 .

由  及条件①，得 . 由条件② ，得 .

故 ，即 . 但 ，，故 .

因  在  上递增，，矛盾.

故对 ，有 .

【分析2】 第一步只证了  上 ，但  时未知。

若存在  使 ，类似第一步可找  使 ，得 .

此时 . 我们需要利用这个  导出矛盾。注意到 ，若能将  "平移"到  内某个点 ，使得 （其中 ），则可与第一步  矛盾。

具体地，取 （例如 ），令 . 因 ，故 . 由  得 ，故 .

从而会有 ，即 ，与第一部分的  矛盾。

解答第二部分： 证明对 ，.

继续使用反证法。假设存在  使 . 取 ，使 .

由条件①，得 . 取 ，则 ，故 ，即 .

取 ，令 . 因 ，，故 ，.

且 ，故 . 因  在  上递增，故 .

由条件①，. 故 ，即 . 但 ，故 .

由第一部分知 ，而  时 ，故 ，矛盾.

故对 ，.

综上，对 ，.

解答第三部分： 证明  在  上单调递增.

任取 . 令 . 取 ，则 .

由第二部分知 ，故 . 由条件①，.

又 ，故 . 即 .

故 ，即 . 故  在  上单调递增.

【说明】这个题应该是全国卷历史上最注重分析思维的问题。首先在之前的全国卷考察中，从来没有出过这么抽象函数与纯分析交融的问题。之前这一类问题只能在上海就能看到。

根据部分同学的反馈，在考场上第二问想做好都有点困难，因为第一是是时间上可能来不太及，第二是在考场上高度紧张的环境下，想慢慢举例子试探，翻译成自己熟悉的语言都很困难。在考场外想做好前两问还是较为简单的，只要好好的把这个集合给写出来即可。但是在考场上，这个第三问绝对是历史最难，大部分考生证明这第一小问在没有具体的函数表达式时，在此处可能只会去想可能具备某种单调性。却忽略了这种基本性质是能够通过反证法否定，然后根据已知条件归谬从而证明的。这一类证明方法在上海卷和北京卷问题的中间证明环节使用较多，对于全国卷的同学们来说，是不大熟悉的。

对于最后一问，想一次证明完毕，几乎是无法完成的。基本上都得先慢慢的做试探。而且，这个题目前面的梯子其实给的信息递进并没有很充足。首先，第二问是我们最后第三问的一个特殊情形，说明我们第三问这样定义的函数它是well-defined的，但是因为第二问我们对于  的部分是通过奇函数延拓过去的，因此大家在尝试做这个问题的时候，会首先注意到它的对称性，而容易忽略掉当  时，整体的部分是非正的这一个重要的性质。直到你开始注意到我们需要证明 ，，本题的最后一问才算刚刚开始。

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