26高考真题08 | 多想少算，中点弦水灵灵的就压轴了！

这道圆锥曲线大题整体难度偏易，在考查考点上覆盖广泛且非常经典，综合考查了面积向坐标比例的几何转化、韦达定理结合齐次式的代数化简、椭圆第三定义（或中点弦性质）的应用以及基本不等式求最值，侧重于检验学生灵活运用一些结论和思维技巧“巧解”的能力，而非枯燥的暴力死算。在命制方式上，第（2）问的两个小问缺乏常规压轴题“层层递进”的逻辑关联，分别独立考查了特定直线方程的求解与动直线下的极值问题，有些许“割裂”感；但这种并列式的设计也客观上阻断了前后问的连环失分风险！另外该题也存在整张试卷为了控制总体的“思维量与计算量”而作出的让步与平衡（T11/T14/T19相对太难了）。

该题尽管容易，但是上来就做的话也有可能会由于方法用的不好，计算量大而浪费时间（尤其是在考场的高压环境下），比如昨天《26高考真题02 | 全国I卷压轴18题，中规中矩（可用到角公式）》着急忙慌的写高考题，上来就设直线，而导致存在一定的计算量！

而这题存在优化运算的地方，比如直线的设法、中点弦推论或第三定义的运用等。下面方法1，考虑到过  轴上的定点，将直线设为 ，可以减小联立运算量；然后将面积之比转化为线段之比（焦半径之比），再利用点在同一直线上直接过渡到纵坐标之比（），避免了使用弦长公式和点到直线距离公式；然后针对  构造出齐次式 ，整体代入韦达定理后消去了复杂的分母 ，将容易算错的非线性方程组消元化简为了简单的一元二次方程；第三问敏锐抓住了点  关于原点对称的几何特征，直接借用椭圆“第三定义”（中点弦性质的推论）得出斜率乘积为定值 ，把原本需要将韦达定理代入斜率公式进行的易错的代数展开过程，直接压缩成了一步到位，最后由基本不等式求最值即可！

这样的命题方式确实和近两年新高考解析几何压轴的命题趋势一致——需要硬算的部分减少，更注重少算巧算多想，命题方式更灵活，考验学生临场计算能力！而在23年之前一段时间，具有射影几何背景的题风靡一时，导致很多老师和学生学习钻研各种不联立解题技巧，解题步骤程式化套路化严重，甚至背解题模板就能解决大多数极点极线等具有射影背景的定值定点类问题，违背了解析几何考察学生计算能力！

• 一、26年全国I卷压轴18题到角公式
• 1、优化设线、中点弦
• 2、无脑设线硬算
• 3、到角公式
• 二、如此简单的中点弦竟压轴
• 三、中点弦点差技巧结论
• 四、新高考中的隐蔽中点弦
• 五、模考中的隐蔽中点弦
• 六、内接三角形外接圆的中点弦结论
• 1、椭圆
• 2、双曲线
• 3、抛物线
• 4、模考中的三角形外接圆斜率结论
• 七、第三定义19题压轴

一、26年全国I卷压轴18题到角公式

【2026年全国I卷T18】（关注：Hi数学派）已知椭圆 （）的左焦点为 ，离心率为 .（1） 求  的方程；（2） 设  为坐标原点，过  且斜率大于  的动直线  与  交于 ， 两点,其中  在第三象限,直线  与  的另一个交点为  .（i） 若  的面积是  的面积的  倍，求  的方程；（ii） 求  的最小值.

解析：

（1）（关注：Hi数学派）由题意知，椭圆  的左焦点 ，离心率 ，则

所以

故椭圆  的方程为 

1、优化设线、中点弦

（2）（i）（关注：Hi数学派）由题意  共线， 共线，所以

又  为  中点，即 ，所以

设 ，，则 。

设直线  的方程为 （），联立椭圆方程得

由韦达定理

由  构造齐次式

代入韦达定理

通分化简得

因为 ，所以 

故  的方程为 

即

（ii）（关注：Hi数学派）设  的斜率为 ， 的斜率为 

由对称性，

因为  在椭圆上，满足  与 ，作差得

根据斜率乘积公式

所以

因为 ，由基本不等式

当且仅当 ，即 （此时 ）时等号成立。

故  的最小值为 。

2、无脑设线硬算

（2）（关注：Hi数学派）设直线  的方程为 （），，

因  且  在第三象限，故 

联立方程

由韦达定理

由于  为直线  与椭圆的交点，由对称性知 ，且  为  中点。

（i）（关注：Hi数学派）由于  是  中点，故 

所以

已知 ，即

代入  得

代入韦达定理

再代入  关系

整理得

化简得

又 ，解得 

 直线  的方程为

（ii）（关注：Hi数学派）设直线  斜率 ，则直线  斜率 

由于

且 ，向量  与  均指向右侧，设其倾斜角分别为  与 

则 

所以

由 ，利用基本不等式（均值不等式）：

当且仅当  即  时等号成立（此时  点仍在第三象限，符合题意）。

 的最小值为 。

3、到角公式

到角公式：（关注：Hi数学派）已知 ，直线  的斜率为

代入

得

，且

 射线 、 均向右。

又 

 在  中，由直线  逆时针旋转至  的角即为内角 。

由到角公式得

（关注：Hi数学派）代入  与 

，（关注：Hi数学派）由基本不等式

当且仅当 ，即  时等号成立。

 的最小值为 。

注： 有关夹角、到角公式可以参看《1489期  圆锥曲线又见到角公式》、《26高考真题02 | 全国I卷压轴18题，中规中矩（可用到角公式）》

二、如此简单的中点弦竟压轴

之前讲过的广东省2026届普通高中毕业班第二次调研考试第19题也是中点弦压轴。该题是一道传统的圆锥曲线压轴，但是似乎并没有任何难度（甚至没有该卷单选压轴第8题有难度，当然不是说猜，T8很容易猜出选项；T8是这张卷里的比较新颖的题）。 那中点弦能出有难度的题吗？可以考虑隐蔽的中点弦（高考上出过）、或是拓展成多条弦，另外中点弦其实就是圆锥曲线第三定义的变形，第三定义可以出比较有难度的题目。

【广东26届高三二调T19】（关注：Hi数学派）已知椭圆 ， 为坐标原点，点 ， 分别在直线  与  上， 是  上一点，，，， 四点构成平行四边形 。（1） 证明  是定值，并求该值；（2） 求平行四边形  面积的最大值；（3） 一族直线  （）与  交于点 ，，证明每条弦  被定直线平分，并求该直线的方程。

解析：（1） 由题，设 ，，，又 ，

因为四边形  是平行四边形，则

所以

即  是定值，且该定值为 。

（2）法一： 设  底边  的高为 ，中点为 ，则

当且仅当  最大，即  时取等

所以

法二： 设直线  的倾斜角为 ，则 ，， 或 。

由 （1） 知，在  中，由余弦定理得，

所以

即

当  时取等号。

所以当  时，

因此平行四边形  面积的最大值为

（3） 设 ，，则

两式相减变形得

由于

所以

任意弦  的中点均在直线  上

三、中点弦点差技巧结论

注： 该小节内容摘自《1469期 教材中藏着不说但考试经常考的第三定义》

• 一、新教材中出现的第三定义
• 1、椭圆的第三定义
• 2、双曲线的第三定义
• 二、细讲圆锥曲线第三定义
• 1、第三定义
• 2、第三定义结论
• 三、武汉4调这道第三定义19题
• 四、第三定义推广1
• 五、第三定义推广2——中点弦
• 六、有心圆锥第三定义表格总结
• 七、第三定义的六大应用
• 1、求离心率（或范围）
• 2、求斜率、弦长
• 3、求轨迹方程
• 4、对称性问题
• 5、定点（定值）问题
• 6、第三定义综合应用

【引例4】 已知  是圆的一条弦，点  是  中点，当  和  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 点  是  中点，由垂径定理可得  ，所以 

注： 作点  关于原点  的对称点 ，由圆的对称性可知，点  在圆上；并连接 ，，则由中位线可知  ，所以  

【引例5】 已知  在椭圆  上，点  是  的中点，当  和  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 设 ，，

点  和点  在椭圆上，则有

作差得

同理，焦点在  轴上的椭圆， 为定值 .

注： 作点  关于原点  的对称点 ，由椭圆的对称性可知，点  在椭圆上；并连接 ，，则由中位线可知  ，所以  

【引例6】 已知  在双曲线  上，点  是  的中点，当  和  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 设 ，

点  和点  在双曲线上，则有

作差得（关注微信公众号：Hi数学派）

同理，焦点在  轴上的双曲线， 为定值 .

注： 作点  关于原点  的对称点 ，由双曲线的对称性可知，点  在双曲线上；并连接 ，，则由中位线可知  ，所以  

【引例6】 已知  在抛物线  上，点  是  的中点，当  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 设 ，

点  和点  在抛物线上，则有 

作差得 

即 

同理可证焦点在  轴负半轴和  轴正负半轴的情形．

【结论9】 为椭圆  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论10】 为椭圆  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则

【结论11】 为双曲线  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则

【结论12】 为双曲线  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则

【结论13】 已知直线  与抛物线   相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

【结论14】 已知直线  与抛物线  相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

【结论15】 已知直线  与抛物线   相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

【结论16】 已知直线  与抛物线  相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

四、新高考中的隐蔽中点弦

【2022年新高考Ⅱ卷T16】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆  ，直线  与椭圆在第一象限交于  ，与  轴，  轴分别交于  且 ，，则直线  的方程为______ .

解析： 设  的中点为 ，即 

即无论图 1 还是图 2，点  也是  的中点

在直角三角形  中，由中线性质可知 

则 ，故 

由点差法可知 

所以 ，即 （ 两点在第一象限，）

设直线  为 

（ 舍去）

故直线  的方程为 

五、模考中的隐蔽中点弦

【24届广东一模T14】（关注微信公众号：Hi数学派）已知直线  与椭圆  在第一象限交于  两点，  与  轴，  轴分别交于  两点，且满足 ，则  的斜率为______ .

解析： 注意到 

两端形式相同，且都能满足  的形式

设 ，则 

，且  在  单调递增

所以

如图 3，设  的中点为 ，则  也为   的中点

在直角三角形  中，由中线性质可知 

则 ，故 

由点差法可知 

所以 ，即 （ 两点在第一象限，）

【襄阳五中25 届高三5 月适应考（五）T14】（关注微信公众号：Hi数学派）如图，斜率为  的直线与椭圆 （）交于 ， 两点，与  轴、 轴分别交于点  ，，若 ，则椭圆  的焦距为 ________ .

解析： 设 ，

设  的中点为 ，则点  也为  的中点

由中点弦可知

注： 这题 、 是  的三等分点，又 、 在  轴、 轴上，进而可以用 ， 两点的坐标表示，进而利用中点弦解决。

六、内接三角形外接圆的中点弦结论

1、椭圆

【结论1】（关注微信公众号：Hi数学派）点  在椭圆 （） 上，设  的外接圆的圆心为点  ，若  三边斜率存在，则

证法1，中点弦点差法： 如图 1，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点 

由点差法知

由外接圆垂径定理知

式  可得

整理得

（关注微信公众号：Hi数学派）同理有

式  得

又

所以

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

注： 三次方程齐次化的证法可以参看小派之前的推文《1486期 又是三角形外接圆斜率结论？中点弦与三次齐次化》

2、双曲线

【结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）点  在双曲线 （，） 上，设  的外接圆的圆心为点  ，若  三边斜率存在，则

证法1，中点弦点差法： 如图 2，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点 

由点差法知

由外接圆垂径定理知

式  可得

整理得 （关注微信公众号：Hi数学派）

同理有

式  得

又

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

所以

注： 三次方程齐次化的证法可以参看小派之前的推文《1486期 又是三角形外接圆斜率结论？中点弦与三次齐次化》

3、抛物线

【结论3】（关注微信公众号：Hi数学派）点  在抛物线 上，设  的外接圆的圆心为点  ，则

证明： （感兴趣的同学可以仿照上面的中点弦和点差法，齐次化拓展法尝试一下）

4、模考中的三角形外接圆斜率结论

【重庆26届康德9月开学调研T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 （，）的虚轴长为  一条渐近线方程为 （1） 求 ；（2） 已知 ，， 是  上的三个不同点.（i） 若 ，点 ， 在  的同一支上，且  是等边三角形，求  ；（ii） 若 （异于原点 ）是  外接圆的圆心，直线 ，，， 的斜率均存在，并分别记为 ，，，，求  的值.

解析：（1）（2）（i）（ii）（详解群内分享）

注： 该题又是圆锥曲线内接三角形外接圆斜率结论，求解参看下面结论的证明

【河北“五个一”名校联盟25届高三一轮收官考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 （，）的焦点到渐近线的距离为 ，右顶点到点  的距离是  . 动圆 （点  为圆心）与  交于四个不同的点 ，，，，且直线 ， 的斜率分别为 ， .（1） 求  的方程.（2） 设直线  .（i） 判断点  是否在双曲线  上，并说明理由.（ii） 若 ，求直线  的一般式方程.（iii） 试问  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解析：（1）（2）（i） 不在 （ii）（iii）（详解群内分享）

注： 该题是用的齐次化的拓展形式来解决的！这在以往模考中很少见，因为此法涉及到高次方程韦达定理。但该题是在19题，上点难度也是应当的，另外三次方程根与系数的关系在人教  版数学必修第二册  拓展阅读中给出过。

七、第三定义19题压轴

武汉四调第19题（原卷可以参看《考前百卷60 | 武汉四调抢先看（今年武汉模考卷一定要重视！）》），看图很吓唬人，但做起来第（2）问就是用两次第三定义！第（3）问，知道射影对应很容易得出点  在某个圆锥曲线上；另外由斜率关系也可以很容易看出  的斜率  和  的斜率  满足分式关系，同样可以得到  和  以及  和  的斜率关系，进而得到  和  的斜率关系，二者同样满足分式关系，进而二者的交点  在某个圆锥曲线上，最后还是利用第三定义的  点。

【25届武汉4调T19】（关注微信公众号：Hi数学派）如图，椭圆 （），，已知  右顶点为 ，且它们的交点分别为 ，，， .（1） 求  与  的标准方程；（2） 过点  作直线 ，交  于点 ，交  于点 ，设直线  的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；（上述各点均不重合）（3） 点  是  上的动点，直线  交  于点  ，直线  交  于点 ，直线  交  于点 ，直线  与直线  交于点 ，求点  坐标，使直线  与直线  的斜率之积为定值.（上述各点均不重合）

解析：

（1） 由题意得 ，代入  可得

解得 ，

所以  与  的标准方程分别为  ，

（2）（关注微信公众号：Hi数学派）由题知， 和  关于原点对称，则由第三定义结论可知

则

（3） 设 ，，，，直线 、、、 的斜率分别为 、、、；

① 直线  可表示为

联立椭圆  ，消去  可得

展开并整理可得

由题知  是方程的一根，由韦达定理可得

将  代入  的表达式可得

代入  的表达式并进行代数化简

因此

②（关注微信公众号：Hi数学派）直线  可表示为

联立椭圆  ，消去  可得

展开并整理可得

由题知  是方程的一根，由韦达定理可得

将  代入  的表达式可得

代入  的表达式并进行代数化简

因此

③（关注微信公众号：Hi数学派）同理可得  和  的关系

④ 进而联立 、、 可得

⑤ 设点  ，则

将  代入  可得

即点  的轨迹是实轴为  轴的双曲线，其两个顶点为 ，

故由第三定义可知当  时，直线  与直线  的斜率之积为定值 

注： 第三定义的结论在答题卷上应当写出来不能直接使用。另外，由射影对应  与  可以得出点  的轨迹方程，有机会单独讲一下。