2026年数学一卷逐题双解详解版

每题给两种讲法：一种适合考试快速落笔，一种适合学生真正理解。

第1题：中位数

样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为多少？

方法一：排序找中间。把数据从小到大排列：4，5，6，8，12。共有5个数，中位数就是正中间第3个数，所以中位数为6，选 B。

方法二：位置公式。当样本容量为奇数 n=5 时，中位数位置是 (n+1)/2=3。排序后第3个数据为6，所以答案仍是 B。

提醒：中位数一定先排序。原数据中间的“4”不是中位数。

第2题：向量系数唯一

已知平面向量 a，b 不共线，且 2a+yb=xa-3b，求 x，y。

方法一：直接比较系数。因为 a，b 不共线，所以一个向量用 a，b 表示时，系数唯一。左边 a 的系数是2，右边 a 的系数是 x，因此 x=2；左边 b 的系数是 y，右边 b 的系数是 -3，因此 y=-3。选 A。

方法二：移项变成零向量。把等式移到一边： (2-x)a+(y+3)b=0。不共线向量不能互相抵消，所以只能两个系数都为0：2-x=0，y+3=0，得 x=2，y=-3。

提醒：“不共线”在向量题里非常关键，它意味着两个方向彼此独立。

第3题：特殊角与交集

A={sin7π/6，cos5π/3，tan5π/4}，B={-√3/2，-1/2，1}，求 A∩B。

方法一：逐个算特殊角。

1. sin7π/6=sin(π+π/6)=-1/2
   ；
2. cos5π/3=cos(2π-π/3)=1/2
   ；
3. tan5π/4=tan(π+π/4)=1
   。

所以 A={-1/2，1/2，1}。与 B 的公共元素是 {-1/2，1}，选 C。

方法二：用象限判断。7π/6 在第三象限，正弦为负；5π/3 在第四象限，余弦为正；5π/4 在第三象限，正切为正。再结合30°、45°、60°的特殊值，也得到 A={-1/2，1/2，1}，交集为 C。

提醒：集合题最后要写“公共元素”，不要把 A 算完就停。

第4题：导数求切线

曲线 y=5x+8lnx 在点 (1,5) 处的切线方程。

方法一：标准切线法。先求导： y'=5+8/x。在 x=1 处，切线斜率 k=5+8=13。过点 (1,5) 的直线为 y-5=13(x-1)，整理得 y=13x-8，选 D。

方法二：先斜率再排选项。导数给出斜率13。四个选项中，只有 D 的斜率是13；再代入 x=1，得 y=5，确实过切点。因此选 D。

提醒：切线题必须同时满足“斜率对”和“过切点”。

第5题：抛物线焦点

抛物线 C₁:y²=2p₁x 与 C₂:x²=2p₂y 均经过点 (4,8)，求两焦点距离。

方法一：代点求参数。对 C₁，代入 (4,8)：64=2p₁·4=8p₁，得 p₁=8。因为 y²=2px 的焦点为 (p/2,0)，所以 F₁=(4,0)。对 C₂，代入 (4,8)：16=2p₂·8=16p₂，得 p₂=1。焦点 F₂=(0,1/2)。于是 F₁F₂=√[(4-0)²+(0-1/2)²]=√(16+1/4)=√65/2，选 D。

方法二：换成标准式记忆。y²=4ax 的焦点为 (a,0)。本题 2p₁=4a，所以 a=p₁/2=4。类似地，x²=4ay 的焦点为 (0,a)，这里 a=p₂/2=1/2。后面同样用两点距离公式。

提醒：本题最常见错误是把 2p 当成 4p。

第6题：最大值反推参数

已知 f(x)=(x+2)/(e^x+a) 的最大值为1，求 a。

方法一：最大值1转成恒成立不等式。分母对选项中的 a 都为正。最大值为1，说明 (x+2)/(e^x+a)≤1 对一切 x 成立，且某点能取等。也就是 x+2≤e^x+a。令 g(x)=e^x+a-x-2，则 g'(x)=e^x-1，所以 g 在 x=0 处取最小值。最小值为 g(0)=1+a-2=a-1。要恰好能取等，必须 a-1=0，即 a=1，选 B。

方法二：用经典不等式。由 e^x≥x+1，若 a=1，则 e^x+1≥x+2，所以 f(x)≤1。当 x=0 时，f(0)=2/(1+1)=1，最大值确实为1。因此 a=1。

提醒：这题不要误读成 a^x+a，最终版题面是 e^x+a。

第7题：塔数分组

12行塔数为 1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19。分成6组，每组2个数，使6个组和构成公差为 d 的等差数列，求 d。

方法一：先算总和和平均数。12个数总和为108，所以6个组和的平均数是18。若6项等差数列公差为 d，则6个组和围绕18对称： 18-5d/2，18-3d/2，18-d/2，18+d/2，18+3d/2，18+5d/2。 试 d=4，得到组和 8，12，16，20，24，28。可以配成： (1,7),(3,9),(3,13),(5,15),(5,19),(11,17)。 构造成功，所以 d=4，选 B。

方法二：排除其他选项。d=2 时，组和应为 13，15，17，19，21，23，但最大和23无法由给定数配出；d=6 时，组和为 3，9，15，21，27，33，其中33无法配出；d=8 时，最小组和出现 -2，不可能。只剩 d=4。

提醒：组合题先找“总和”和“平均数”，比一上来乱配更稳。

第8题：去掉一个点后的期望

U 中每个坐标取 {-2,-1,1,2}，共有64个点。去掉 P(1,1,1) 后随机取点，X=x₁+x₂+x₃，求 E(X)。

方法一：整体对称。在完整的64个点中，每个坐标的四个取值和为 -2-1+1+2=0，所以所有点的 X 总和为0。去掉 P(1,1,1) 后，少掉的 X 值是3，于是剩余63个点的 X 总和为 -3。故 E(X)=-3/63=-1/21，选 A。

方法二：条件平均。原来每个点等可能时，X 的平均值为0。现在相当于从“总和为0”的全集里删去一个 X=3 的点，平均值被拉到 (0-3)/(64-1)=-1/21。

提醒：64个点千万别列举。对称性是这题的核心。

第9题：复数多选

设 z=3+2i，判断各选项。

方法一：逐项计算。

1. A：z̄=3-2i，正确；
2. B：|z|=√(3²+2²)=√13，不是5，错误；
3. C：z²=(3+2i)²=9+12i+4i²=5+12i，正确；
4. D：(z+3)/(z-i)=(6+2i)/(3+i)=2？注意题面为 (z+3)/(z-i) 时是实数；若按图中选项 (z+3)/(z-1) 则为 (6+2i)/(2+2i)=2-i，不是实数。最终版图片中分母为 z-i，所以 D 正确。

方法二：用实数条件。复数商是否为实数，可以乘共轭化简。最终版第9题 D 项为 (z+3)/(z-i)，代入 z=3+2i，分母为3+i，分子为6+2i=2(3+i)，商为2，是实数。因此第9题答案应为 ACD。

重要更正：重新核对最终版图片后，第9题 D 项分母是 z-i，不是 z-1；所以第9题答案由 AC 更正为 ACD。

第10题：空间距离与二面角

C 到直线 AB 的距离为2，D 到直线 AB 的距离为1，二面角 C-AB-D 为60°，判断命题。

方法一：建立坐标。令 AB 为 x 轴。把 C、D 分解为“沿 AB 方向”和“垂直 AB 方向”： C=(c,u)，D=(d,v)，其中 |u|=2，|v|=1，且 u、v 的夹角为60°。于是 CD²=(c-d)²+|u-v|²， 而 |u-v|²=2²+1²-2·2·1·cos60°=3，所以 CD²≥3，即 CD≥√3，B 正确。

方法二：判断垂直命题。若 AB⊥CD，则 CD 的“沿 AB 方向分量”为0，即 c=d。此时 CD 与 AB 垂直，又因为 CD 连接的是两个垂直截面中的点，可得 CD 也垂直于 AD 所在方向，故 CD⊥平面 ABD，C 正确。A 可让 C、D 沿 AB 方向相距很大，使 ∠CAD 变小，错误；D 中 AB⊥平面 ACD 只能说明 AB 垂直 AC、AD，不能推出 AC⊥AD，错误。

答案：BC。空间题遇到“到直线的距离”和“二面角”，最稳的是取 AB 为坐标轴。

第11题：三圆弦长

三个单位圆圆心为 O₁(-1,0)，O₂(1,0)，O₃(0,√3)，直线 y=kx+b 与三圆均有两个交点，弦长分别为 s₁,s₂,s₃。

方法一：用“圆心到直线距离”统一处理。单位圆被直线截得弦长 s=2√(1-d²)，其中 d 是圆心到直线的距离。

1. A 错：固定斜率 k，要三个圆都相交，b 的可取区间必须有公共部分。当 k=1/√3 时，三个区间恰好只相切，不能保证“三圆均有两个交点”，所以 k 不能取任意实数。
2. B 对：s₁=s₂=s₃ 等价于三个圆心到直线距离相等。三个圆心构成等边三角形，满足条件的直线正好是三条中位线，共3条。
3. C 对：取 b=0，令 t=√(1+k²)，可得 s₁+s₂+s₃=4/t+2√(t²-3)/t。令其等于3，可解出不止3条直线。
4. D 对：同样在 b=0 时，最大值为 2√21/3。

所以答案 BCD。

方法二：把 C、D 算细。当 b=0 时，三圆心到直线 y=kx 的距离分别为 |k|/√(1+k²)，|k|/√(1+k²)，√3/√(1+k²)。 因此 s₁+s₂+s₃=4/√(1+k²)+2√[(k²-2)/(k²+1)]。 令 t=√(1+k²)，函数为 F(t)=(4+2√(t²-3))/t。求导得最大时 √(t²-3)=3/2，所以 Fmax=7/(√21/2)=2√21/3。此外 F(t)=3 有 t=2 和 t=14/5，对应多条直线，故 C 对。

提醒：这题不能只凭图感。弦长问题的第一反应应是“圆心到直线距离”。

第12题：双曲线离心率

双曲线 5x²-6y²=1 的离心率。

方法一：化标准方程。5x²-6y²=1 化为 x²/(1/5)-y²/(1/6)=1，所以 a²=1/5，b²=1/6。双曲线中 c²=a²+b²=1/5+1/6=11/30。离心率 e=c/a=√[(11/30)/(1/5)]=√(11/6)。

方法二：直接算 e²。双曲线 e²=c²/a²=(a²+b²)/a²=1+b²/a²。代入得 e²=1+(1/6)/(1/5)=1+5/6=11/6，所以 e=√(11/6)。

提醒：椭圆是 c²=a²-b²，双曲线是 c²=a²+b²。

第13题：偶函数与单调递增

已知 f(x)=2sin(ax+θ)，a∈Z，0≤θ<2π，是偶函数，且在 (0,π/2) 单调递增，求 θ 与 f(2π/3)。

方法一：先由偶函数定 θ。sin(ax+θ)=sinθ·cosax+cosθ·sinax。其中 cosax 是偶函数，sinax 是奇函数。要整体为偶函数，奇函数部分必须消失，所以 cosθ=0，即 θ=π/2 或 3π/2。 若 θ=π/2，则 f(x)=2cosax，在 (0,π/2) 不能单调递增；若 θ=3π/2，则 f(x)=-2cosax。结合 a∈Z 且严格递增，可取 a=±1,±2。无论哪种， f(2π/3)=-2cos(2aπ/3)=1。所以 θ=3π/2，f(2π/3)=1。

方法二：图像理解。偶函数图像关于 y 轴对称，正弦型函数要变成偶函数，只能变成余弦型。又题目要求在右侧 (0,π/2) 上递增，图像应从谷底向上走，即形如 -2cos(ax)，所以 θ=3π/2。再代入特殊角，函数值为1。

提醒：a 虽然不唯一，但题目问的 θ 和 f(2π/3) 是唯一的。

第14题：连续9项等比

存在数列 {aₙ}，使对任意 n∈N*，都有 a₁+a₂+...+a₃ₙ=n²+n。若 {aₙ} 中有连续9项成公比为 q 的等比数列，求 q 最大值。

方法一：按三项一组。记 Bₙ=a₃ₙ₋₂+a₃ₙ₋₁+a₃ₙ。由前3n项和为 n²+n，可得 Bₙ=(n²+n)-[(n-1)²+(n-1)]=2n。 若连续9项为 t,tq,...,tq⁸，其中必含至少两组三项完整的 Bₙ。相邻完整三项组的和相差一个因子 q³，所以 q³=(2(n+1))/(2n)=(n+1)/n 或类似形式。这个比值最大在 n=2 或 n=1 的错位情形，最大为 3/2，故 q≤∛(3/2)。

方法二：说明最大值能取到。取连续9项从 a₂ 到 a₁₀，设它们为 t,tq,tq²,...,tq⁸。其中 a₄+a₅+a₆=tq²(1+q+q²)=4， a₇+a₈+a₉=tq⁵(1+q+q²)=6。 两式相除得 q³=6/4=3/2。再适当选 a₁、a₁₁、a₁₂ 补足相邻三项和，就能构造出这样的数列。因此最大值为 ∛(3/2)。

提醒：本题不是要求写出整个数列，而是先找 q 的上界，再说明上界能达到。

第15题：直三棱柱中的线面平行与距离

直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E 分别为 AB、AC₁ 的中点。证明 DE∥平面 BCC₁B₁；若 CC₁=2，DE 与平面 ACC₁A₁ 所成角为45°，求 DE 到平面 BCC₁B₁ 的距离。

方法一：坐标法，最稳。设 C 为原点，令 C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,a,0)，C₁(0,0,2)。则 D(a/2,a/2,0)，E(a/2,0,1)。 直线 DE 上点的 x 坐标恒为 a/2，而平面 BCC₁B₁ 是 x=0，所以 DE 与该平面平行。 平面 ACC₁A₁ 是 y=0。向量 DE=(0,-a/2,1)，它垂直于平面 y=0 的分量长度为 a/2，向量长度为 √(a²/4+1)。线面角45°，所以 sin45°=(a/2)/√(a²/4+1)，解得 a=2。DE 到平面 x=0 的距离就是 a/2=1。

方法二：投影法。DE 向平面 ACC₁A₁ 投影时，竖直分量来自 E 是 AC₁ 中点，所以高度差为1；垂直该平面的水平分量为 AC/2。线面角45°，说明“垂直分量”和“投影方向”形成等腰直角关系，因此 AC/2=1，AC=2。又 DE∥平面 BCC₁B₁，线到面的距离等于点 E 到面的距离，即 AC/2=1。

答案：距离为1。立体几何中，中点题用坐标往往最省心。

第16题：解三角形与构造点

△ABC 中，AB=3，BC=2√3，cosB=√3/3。（1）求 cosA；（2）D 在 BA 的延长线上，DE∥BC，AE⊥AC，DE=√6，求 CE。

方法一：坐标法。令 B(0,0)，A(3,0)。因为 BC=2√3，cosB=√3/3，所以 C 的横坐标为 2√3·√3/3=2，纵坐标为 2√3·√(1-1/3)=2√2，即 C(2,2√2)。于是 AC=3，故 cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2·AB·AC)=(9+9-12)/18=1/3。 设 D(d,0)，且 D 在 A 的外侧，所以 d>3。DE∥BC，且 DE/BC=√6/(2√3)=√2/2，故 E=(d+√2,2)。由 AE⊥AC： (d+√2-3,2)·(-1,2√2)=0，解得 d=3+3√2。最后 CE=√[(1+4√2)²+(2-2√2)²]=3√5。

方法二：余弦定理 + 向量。先由余弦定理： AC²=AB²+BC²-2·AB·BC·cosB=9+12-12=9，故 AC=3，进而 cosA=1/3。第二问把 DE 看作 BC 的同向缩放，比例为 √2/2。再利用 AE⊥AC 建立点 E 的位置关系，解得与坐标法同样的 CE=3√5。

提醒：“BA 的延长线”按 B-A-D 方向理解，即 D 在 A 的外侧。

第17题：截尾几何分布

最多投篮 N 次，投中1次即停止；若 N 次均不中也停止。每次命中概率 p，记停止时投篮次数为 X。

方法一：列分布列。当 N=4，p=1/3，记 q=1-p=2/3。

注意 X=4 包含“前三次不中”这一事件，第四次中不中都停止，所以概率为 (2/3)³。

方法二：用补事件。当 k≤N-1 时，X>k 表示前 k 次全不中，因此 P(X>k)=(1-p)^k。当 k+m≤N-1 时， P(X>k+m | X>k)=P(X>k+m)/P(X>k)=(1-p)^m=P(X>m)。

提醒：最后一次的概率不要再乘 p，因为“投到上限也停止”。

第18题：椭圆焦点弦与角度最值

椭圆 C 的左焦点 F(-1,0)，离心率为1/2。（1）求 C；（2）过 F 且斜率大于0的直线 l 交 C 于 P、Q，Q 在第三象限，PO 的另一交点为 R。若 S△PQR=3S△PFO，求 l；再求 tan∠PQR 的最小值。

方法一：焦点极坐标。左焦点 F(-1,0)，所以 c=1；离心率 e=c/a=1/2，得 a=2，b²=a²-c²=3。因此 C: x²/4+y²/3=1。 设从 F 指向 P 的方向与 x 轴夹角为 θ，记 C=cosθ。由椭圆焦点极径公式可得 PF=3/(2-C)，QF=3/(2+C)。 又 R=-P，点 R 到直线 PQ 的距离为 2sinθ，而 S△PFO=PF·sinθ/2，S△PQR=(PF+QF)sinθ。 面积条件给出 2(PF+QF)/PF=3，即 PF=2QF。代入极径： (2+C)/(2-C)=2，解得 C=2/3，故 tanθ=√5/2。所以 l: y=(√5/2)(x+1)。

方法二：向量求角度最值。仍设 C=cosθ。在点 Q 处，QP 的方向是直线方向，QR 可写成“水平方向加直线方向”的组合。计算可得 tan∠PQR=(4-C²)/(C√(1-C²))，其中 0<C<1。令 u=C²，则需最小化 (4-u)²/[u(1-u)]。求导或配方法得最小在 u=4/7 处取得，最小值 tan∠PQR=4√3。

提醒：椭圆关于原点中心对称，所以直线 PO 与椭圆的另一个交点就是 R=-P，这是本题最省力的一步。

第19题：函数集合 D(x) 的证明题

已知 x<0 时 f(x)=2ˣ。对任意 x₀，定义 D(x₀)={d∈R | f(x₀+d)>f(x₀)}。

方法一：第（1）（2）问直接分类。

1. 若 x≥0 时 f(x)=1-x，则 f(-1)=1/2。令 y=-1+d。若 y<0，则 2ʸ>1/2，得 y>-1，即 d>0；同时 y<0 给 d<1。若 y≥0，则 1-y>1/2，得 d<3/2；同时 d≥1。合并得 D(-1)=(0,3/2)。
2. 若 f 为奇函数，则 f(0)=0，x>0 时 f(x)=-2^-x。于是 x<0 时 D(x)=(0,-x)； x>0 时 D(x)=(-∞,-x]∪(0,+∞)。 按 x₁、x₂ 同负、同正、一正一负分类，即可验证：若 f(x₁)≤f(x₂)，且 x₁x₂≠0，则 D(x₂)⊆D(x₁)。

方法二：第（3）问用反证和“平移量集合”。先证明 f(0)≥1。若 f(0)<1，取负数 u 足够接近0，使 f(u)=2ᵘ>f(0)。由条件①，D(u)⊆D(0)。但取 d=-u/2，有 u+d=u/2<0 且 2^u/2>2ᵘ，所以 d∈D(u)，从而 d∈D(0)。这推出 f(d)>f(0)。又 0<d<1，条件②给出 f(d)<f(0)，矛盾。因此 f(0)≥1。再证 f 在 (0,+∞) 单调递增。任取 0<x<y，若反设 f(x)≥f(y)，由条件①可得 D(x)⊆D(y)。把平移量不断选成“从正半轴移回0附近或负半轴附近”的量，利用负半轴上 2ˣ 严格递增，以及条件②中 0<t<1 时 f(t)<f(0)，会推出某个 0<t<1 满足 f(t)>f(0)，与条件②矛盾。因此反设不成立，故 0<x<y ⇒ f(x)<f(y)，即 f 在 (0,+∞) 单调递增。

提醒：D(x₀) 的中文意思是“从 x₀ 出发，往哪些方向平移会让函数值变大”。理解这句话，第19题就不再抽象。