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一、选择题
1.
当 时，若 与 为同阶无穷小量，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
解析：
由泰勒展开 ，得
故 与 同阶，。
2.
函数 的拐点为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
解析：
有
在 内， 得 。且 在 两侧变号，所以拐点为
3.
下列反常积分发散的是
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
解析：
选项 D 中
因此该反常积分发散。
4.
微分方程 的通解为
则 的值为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
解析：
齐次方程的特征根为 的二重根，故
得 。再将特解 代入
得 ，所以 。
5.
已知积分区域
且
则大小关系为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
解析：
在 上，有
令 ，由积分保序性得
6.
已知 二阶可导且在 处连续，则 相切于 且曲率相等是
的
- A. 充分非必要条件
- B. 充分必要条件
- C. 必要非充分条件
- D. 既非充分又非必要条件
答案： A
解析：
由极限为 可推出
因此两曲线相切且曲率相等。反之，曲率相等不一定能推出上述极限为 ，故选 A。
7.
设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵。若线性方程组
的基础解系中只有 个向量，则 的秩是
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
解析：
基础解系含 个向量，故
对四阶矩阵，若 ，则
8.
设 是 阶实对称矩阵， 是 阶单位矩阵。若
则二次型 的规范形为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
解析：
特征值满足
故 或 。又 ，三个特征值乘积为 ，所以特征值为
正负惯性指数分别为 ，规范形为
二、填空题
9.
答案：
解析：
写成指数形式：
因 ，故指数极限为 ，所以原式为
10.
曲线
在对应点 处切线在轴上的截距为
答案：
解析：
当 时，
切线方程为
故截距为 。
11.
设函数 可导，，则
答案：
解析：
设 ，则
因此
12.
函数 的弧长为
答案：
解析：
因为 ，所以弧长
故
13.
已知函数
则
答案：
解析：
交换积分次序：
于是
14.
已知矩阵
表示 中 元的代数余子式，则
答案：
解析：
按第一行展开可得
三、解答题
15.
已知
求 的极值。
解析：
当 时，
当 时，
又 处不可导。令 ，得
符号变化如下：
因此：
和
为极小值；
为极大值。
16.
求不定积分
解析：
分解为
故
17.
是微分方程
满足 的特解。
（1）求 ；
（2），求平面区域 绕 轴旋转成的旋转体体积。
解析：
（1）一阶线性方程的通解为
由 得 ，故
（2）旋转体体积为
所以
18.
已知平面区域 满足
求
解析：
用极坐标 。区域条件化为
由对称性，含 的部分积分为 ，故
令 ，计算得
19.
设 为正整数，记 为曲线
与 轴之间图形的面积。求 ，并求 。
解析：
面积为
每一段有
因此
于是
20.
已知函数 满足
求 的值，使得在变换
下，上述等式可化为函数 的不含一阶偏导的等式。
解析：
代入
后，一阶偏导项的系数分别为
要使一阶偏导项消失，需
解得
21.
已知函数 在 上具有二阶导数，且
证明：
（1）存在 ，使得 ；
（2）存在 ，使得 。
解析：
（1）由积分中值定理，存在 ，使得
又 ，由罗尔定理，存在 ，使得
（2）设 为 的最大值点。由 可知
对 与 在 处作泰勒展开：
两式相加，并取二阶导较小者 ，得
由于 ，且
可推出
22.
已知向量组
若向量组（I）和向量组（II）等价，求 的取值，并将 用 线性表示。
解析：
对矩阵
作初等行变换，可化为
当 时，两组不等价；其余情形等价，即
- 当 时，解不唯一：
- 当 时，三向量组满秩，且
23.
已知矩阵
相似。
（1）求 ；
（2）求可逆矩阵 ，使得
解析：
（1）因为 ，二者特征值相同。由
可得
（2）当 时，取
可验证
因此上述 即为所求。
